Pré-Vestibular ⇒ (UESB 2012.1) Geometria Analítica

[jhor]

No projeto para a expansão do sistema viário de uma cidade do sudoeste da Bahia, um arquiteto representou, em um plano cartesiano, um anel rodoviário pela equação [tex3]x^{2} + y^{2}[/tex3] − 6x − 6y + 13 = 0 e uma estrada pela equação 2x − y + k = 0.
Assim, o número de valores inteiros que k pode assumir, de modo que a estrada e o anel possuam duas interseções distintas, é

01) 9
02) 8
03) 7
04) 6
05) 5

Obrigado pela ajuda!

[mateusITA]

[tex3]\begin{cases}
x^{2}+y^{2}-6x-6y+13=0 \\
y=2x+k
\end{cases}[/tex3]

[tex3]x^{2}+(2x+k)^{2}-6x-6(2x+k)+13=0[/tex3]
[tex3]5x^{2}+(4k-18)x+k^{2}-6k+13=0[/tex3]

Duas interseções distintas ([tex3]\Delta >0[/tex3]):

[tex3](4k-18)^{2}-20(k^{2}-6k+13)>0[/tex3]
[tex3]-4k^{2}-24k+64>0[/tex3]
[tex3]k^{2}+6k-16<0[/tex3]
[tex3](k-2)(k+8)<0[/tex3]

Solução: [tex3]-8<k<2[/tex3]

Logo, k pode assumir 9 valores inteiros.