Ensino Médio ⇒ (Unicentro - 2011.1) Trigonometria Tópico resolvido

[jhor]

Considerando-se que a equação [tex3]\sin x\cdot\cos x=\frac{\sqrt{3}}{4}[/tex3] tem [tex3]n[/tex3] soluções no intervalo [0, 2π], pode-se afirmar que o valor de [tex3]n[/tex3] é

A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1

Uma ajudinha ae vlw!

[PedroCunha]

Veja:

Multiplicando toda a equação por 2, temos:

[tex3]2 \cdot \sin x \cdot \cos x = \frac{\sqrt3}{2}[/tex3]

Mas sabemos que [tex3]2 \cdot \sin x \cdot \cos x = \sin (2x)[/tex3]. Substituindo:

[tex3]\sin (2x) = \frac{\sqrt3}{2} \rightarrow \begin{cases} \sin(2x) = \sin \left( \frac{\pi}{3} \right) \therefore 2x = \frac{\pi}{3} \therefore x = \frac{\pi}{6} \\\\ \sin (2x) = \sin \left( \frac{2\pi}{3} \right) \therefore 2x = \frac{2\pi}{3} \therefore x = \frac{\pi}{3} \end{cases}[/tex3]

Temos duas soluções no intervalo [tex3][0, 2\pi][/tex3].

Att.,
Pedro

[jhor]

Olá cara, muito obrigado, olha eu tentei fazer uma outra equação fazendo essa ideia de igualdade, mas não deu certo. Teria como me dizer quando eu posso fazer isso? Muito Obrigado.

[jhor]

Cara na verdade, olhando aqui você errou a questão.

[mateusITA]

[tex3]senx.cosx=\frac{\sqrt{3}}{4}[/tex3]
[tex3]sen(2x)=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]


I)[tex3]2x=60[/tex3]°
[tex3]x=30[/tex3]°

II)[tex3]2x=120[/tex3]°
[tex3]x=60[/tex3]°

III)[tex3]2x=420[/tex3] º
[tex3]x=210[/tex3] º

IV)[tex3]2x=480[/tex3] º
[tex3]x=240[/tex3] º

Existem 4 soluções.

[Vinisth]

Olá à todos,

Não há necessidade de calcular os 4 valores, basta perceber que como o arco da função foi dobrado, o período da função foi dividido. Como o período da função [tex3]\sin(x)[/tex3] é [tex3]2\pi[/tex3], a função de [tex3]sin(2x)[/tex3] tem periodo [tex3]\pi[/tex3]
Como em um intervalo de [tex3][0,\pi][/tex3] (em um período) a função [tex3]sin(2x) =\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3] admite 2 soluções, logo em dois períodos ([tex3][0,2\pi][/tex3]) só pode admitir 4 soluções.

Abraço !

Mesma questão.
EDIT : viewtopic.php?t=42385

[PedroCunha]

Os companheiros já corrigiram minhas solução que estava incorreta.