Olimpíadas ⇒ Quadriláteros e Pontos Médios Tópico resolvido

[Cláudio02]

Os pontos [tex3]K[/tex3], [tex3]L[/tex3], [tex3]M[/tex3] e [tex3]N[/tex3] são os pontos médios dos lados do quadrilátero [tex3]ABCD[/tex3]. Prove que a área de [tex3]KLMN[/tex3] é a metade da área de [tex3]ABCD[/tex3].

[Vinisth]

Olá Cláudio02,

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Seja [tex3]A_1B_1C_1D_1[/tex3] um paralelogramo e seus pontos médios ( pontos pretos no quadrilátero), seja uma reta passando pelos pontos médios [tex3]E_1F_1[/tex3] e uma reta [tex3]B_1L || D_1A_1[/tex3] por semelhança e congruência, se prova que [tex3]E_1F_1 || D_1B_1[/tex3]. Deixo para você provar isso.
Dicas : Lembre-se que [tex3]B_1L || D_1A_1[/tex3], eu prolonguei [tex3]B_1[/tex3] intersectando em L de forma que [tex3]B_1L || D_1A_1[/tex3]. Para provar atente-se para o ângulo oposto pelo vértice e o lado oposto ao ângulo oposto pelo vértices dos dois triângulos. Aí você mata a charada da figura.

Com essas informações você sabe que os pontos médios de um quadrilátero qualquer, forma sempre um paralelogramo., pois pela simetria [tex3]G_1H_1 || E_1F_1[/tex3] e assim por diante ...

Agora vamos para a parte das áreas :

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Sabemos que EFGH é um paralelogramo. de forma análoga a que foi explicado acima JFKI também é um paralelogramo e sua diagonal JK o divide em duas área iguais.
E ainda neste mesmo paralelogramo

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Deixo para você provar que os ângulos mostrados são compatíveis. Basta reparar nas retas paralelas, que foi provado acima e notar os ângulos alternos e internos. Veja que o ângulo [tex3]F\hat{K}J = F\hat{A}J[/tex3] e os triângulos FJK e FAJ são congruentes, da mesma forma que os triângulos BFK é congruente a FKJ, pelo caso LAL.
Se eles são congruentes, a área deles também são, portanto a área do triângulo [tex3]\triangle AIB = \frac{1}{2}FKJI[/tex3]

Analogamente
[tex3]\boxed{ABCD = \frac{1}{2}EFGH}[/tex3]

Espero que compreenda.
Abraço !