IME / ITA ⇒ (IME - 1955) Análise Combinatória: Combinações Simples Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Com os algarismos significativos quantos números constituídos de 3 algarismos ímpares e 3 pares, sem repetição, podem ser formados? Explanar o raciocínio no desenvolvimento da questão.

[Chris]

Vou começar fixando o primeiro número, já que este sendo par teremos que fazer uma contam, pois teremos quatro opções, e este sendo ímpar, pois teremos cinco opções.

Primeiro começando por par:

[tex3]\underline{P}\underline{P}\underline{P}\underline{I}\underline{I}\underline{I}[/tex3]

Teremos então:

[tex3]\underline{4}.\underline{4}.\underline{3}.\underline{5}.\underline{4}.\underline{3} = 2880[/tex3]

Mas os últimos cinco algarismos não precisariam estar necessariamente nessa pordem. Multiplicamos então os resultado por:

[tex3]P_5^{3,2}=\frac{5!}{3!2!}=10[/tex3]

Logo 2880.10=28800

Agora, começando com ímpar teremos:

[tex3]\underline{I}\underline{P}\underline{P}\underline{P}\underline{I}\underline{I}[/tex3]

[tex3]\underline{5}.\underline{4}.\underline{3}.\underline{5}.\underline{4}.\underline{3} = 3600[/tex3]

Multiplicamos pela mesma permutação, o que nos dá 36000.

Somando os resultados, obtemos 64800.

[Bruno Fraga]

Em alguns problemas, o IME e a Escola Naval costumavam chamar, incorretamente, de algarismos significativos os elementos do conjunto {1, 2, 3,..., 9}. Acredito q a intenção desse enunciado era excluir de qualquer posição o algarismo 0. Vou propor uma primeira solução usando essa idéia:
(i)
Primeiro escolhemos 3 algarismos pares para o nosso número entre os 4 disponíveis: C(4,3)
Depois escolhemos 3 ímpares entre os 5 disponiveis: C(5,3)
Agora permutamos os seis algarismos escolhidos: 6!
Total: C(4,3).C(5,3).6! = 28800

Agora uma outra solução, supondo que o zero só não possa ocupar a 1ª posição. Vou apenas apontar as idéias porque esse já foi resolvido pelo Chris:
(ii)
Neste caso, podemos raciocinar de maneira semelhante ao 1º método e no final descontar os números que iniciam por zero.
Total de números: C(5,3).C(5,3).6! = 72000
Números iniciados por zero: C(4,2).C(5,3).5! = 7200
Números restantes: 72000 - 7200 = 64800

[Chris]

Nossa, que estranho isso Bruno. Nunca tinha ouvido falar dessa não. Porque hoje em dia o nos significativos, 0 só não pode estar no começo.