Ensino Fundamental ⇒ Medida do Ângulo Tópico resolvido

[Hoshyminiag]

A medida do ângulo x na figura abaixo é:

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a) 15º
b) 18º
c) 20º
d) 24º
e) 25º

Resposta

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B

Embora pareça, o triângulo não é, necessariamente, retângulo

[Vinisth]

Olá Hoshyminiag,

Caramba, de onde você retirou esta questão ?
Eu considerei o triângulo ser retângulo. Acho que não tem como resolver isso sem ser retângulo.
Tirando as relações trigonométricas do triângulo é fácil chegar em :
[tex3]2\tan (x)+\tan(2x)-\tan(3x)=0[/tex3]
Faça :
[tex3]\tan (2x)=\frac{2\tan x}{1-\tan^2x}[/tex3]
[tex3]\tan (3x)=\frac{3\tan x-\tan^3 x}{1-3\tan^2x}[/tex3]
[tex3]\tan(x) = y[/tex3]
[tex3]2y+\frac{2y}{1-y^2}-\frac{3y-y^3}{1-3y^2}=0[/tex3]
Arrumando temos :
[tex3]y(5y^4-10y^2+1)=0[/tex3]
[tex3]y=0 \Rightarrow[/tex3] Não é solução !
[tex3]\tan x = y= \pm\sqrt{1\pm\frac{2\sqrt{5}}{5}}[/tex3]
O valor da tangente deve ser o menor possível, então :

[tex3]\boxed{x = \arctan{\sqrt{1-\frac{2\sqrt{5}}{5}}}=18^o}[/tex3]

Espero que seja isso.
Abraço !

[Hoshyminiag]

Da mesma apostila. Com certeza, há outra maneira de resolver essa questão, já que a apostila é do Ens. Fundamental. Mas Obrigado, ótima solução.