Ensino Médio ⇒ Geometria espacial - Poliedro convexo Tópico resolvido

[georges123]

Um poliedro convexo possui, apenas, faces triangulares,quadrangulares e pentagonais. O número de faces triangulares excede o de faces pentagonais de duas unidades. Calcular os números de faces de cada tipo, sabendo que o poliedro tem 7 vértices.

Resposta

---

3 triangulares, 2 quadrangulares e 1 pentagonal

[Auto Excluído (ID:12031)]

Número de faces triangulares: [tex3]T[/tex3]
Número de faces quadrangulares: [tex3]Q[/tex3]
Número de faces pentagonais: [tex3]P[/tex3]

[tex3]T = P +2[/tex3]
[tex3]A = \frac{3T + 4Q + 5P}{2}[/tex3]
[tex3]V + F = A + 2[/tex3]
[tex3]7 + T + Q + P = \frac{3T + 4Q + 5P}{2} + 2[/tex3]
[tex3]14 + 2T + 2Q + 2P = 3T + 4Q + 5P + 4[/tex3]
[tex3]10 = T + 2Q + 3P[/tex3]
[tex3]10 = 2 + 2Q + 4P[/tex3]
[tex3]8 = 2Q + 4P[/tex3]
[tex3]4 = Q + 2P[/tex3]

Repare que nem [tex3]Q[/tex3] nem [tex3]P[/tex3] podem ser zero, senão não haveria nenhuma face quadrangular/pentagonal. Se [tex3]P=2[/tex3] então [tex3]Q=0[/tex3] como [tex3]0<P<2[/tex3] então [tex3]P=1[/tex3], [tex3]Q=2[/tex3] e [tex3]T=3[/tex3].

[georges123]

Número de faces triangulares: [tex3]T[/tex3]
Número de faces quadrangulares: [tex3]Q[/tex3]
Número de faces pentagonais: [tex3]P[/tex3]

[tex3]T = P +2[/tex3]
[tex3]A = \frac{3T + 4Q + 5P}{2}[/tex3]
[tex3]V + F = A + 2[/tex3]
[tex3]7 + T + Q + P = \frac{3T + 4Q + 5P}{2} + 2[/tex3]
[tex3]14 + 2T + 2Q + 2P = 3T + 4Q + 5P + 4[/tex3]
[tex3]10 = T + 2Q + 3P[/tex3]
[tex3]10 = 2 + 2Q + 4P[/tex3]
[tex3]8 = 2Q + 4P[/tex3]
[tex3]4 = Q + 2P[/tex3]

Repare que nem [tex3]Q[/tex3] nem [tex3]P[/tex3] podem ser zero, senão não haveria nenhuma face quadrangular/pentagonal. Se [tex3]P=2[/tex3] então [tex3]Q=0[/tex3] como [tex3]0<P<2[/tex3] então [tex3]P=1[/tex3], [tex3]Q=2[/tex3] e [tex3]T=3[/tex3].

Como você chegou à conclusão de 0 < P < 2 ?
Obrigado.

[Auto Excluído (ID:12031)]

[tex3]0< P[/tex3] porque não dá pra ter um número negativo de faces. E porque no enunciado ele disse que existem as tais faces pentagonais, então P não pode ser zero, do contrário não teria nenhuma nenhuma face pentagonal.

Menor do que dois por conta da equação que eu cheguei ai: 4 = Q + 2P

Se o P for dois a equação vai ficar assim: 4 = Q + 4 -> Q = 0 (absurdo porque o enunciado disse que existem face quadrangulares) se o P for maior do que dois ai então o Q seria negativo, então o P é maior do que zero e é menor do que 2. Entendeu ?

[georges123]

Entendi, obnigado.