Concursos Públicos ⇒ (UnB SEDUCAM) Equação e Inequação

[ALDRINMOD]

Julgue os itens seguintes, acerca de equações e inequações.

(1) Se [tex3]k[/tex3] é um número real diferente de [tex3]2[/tex3], então a equação [tex3](k-2)x^2-3kx+1=0[/tex3] sempre terá raízes reais distintas.
(2) O conjunto solução para a inequação [tex3]x^2+2x-3 > 0[/tex3] contém o intervalo [tex3]-3 \leq x \leq 3[/tex3].

Resposta

---

C, E

[Cientista]

Olá Moderador Aldrin como está? Aqui tudo bem.
Então, no primeiro ítem é uma questão de pegarmos o valor e substituir, ou seja, se eu experimentar com [tex3]k=2[/tex3], e substituir, notaremos que ele terá uma Única Solução, respectivamente a [tex3]\frac{1}{6}[/tex3]. Mas, se fores a substituir com outro valor em [tex3]K[/tex3], concluímos que as suas raízes sempre serão distitintas, seja com 0,1,3,-5 .. Concluindo então que a afirmação é Verdadeira(Certa)
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Para o segundo ítem, é uma questão de resolvermos essa Inequação e acharmos o conjunto-solução do mesmo.
Transformando numa Equação Equivalente, e determinando as suas raízes teremos, [tex3](x-1).(x+3)>0[/tex3] e fazendo o jogo de Sinais com produtos, pintando a parte positiva, pois a Inequação pede valores positivos(acima do eixo x-Abcisessas) teremos como conjunto solução [tex3](x-1).(x+3)>0 \rightarrow x\in ]-\infty;-3[[/tex3] ou [tex3]]1;+\infty[[/tex3]respectivamente. Logo a afirmação é Falsa(Errada).
Espero ter Ajudado

[csmarceloMOD]

Cientista,

Mas como você concluiu que, para [tex3]k<>2[/tex3], as raízes sempre serão distintas?

[csmarceloMOD]

1)

Uma equação do segundo grau possui raízes reais e distintas quando [tex3]\Delta>0[/tex3].

[tex3]\Delta_1=b^2-4ac=(-3k)^2-4(k-2)=9k^2-4k+8>0[/tex3]

[tex3]\Delta_2=(-4)^2-4\cdot9\cdot8=-272\rightarrow9k^2-4k+8[/tex3] sempre será maior do que zero, ou seja [tex3]\Delta_1[/tex3] sempre será maior do que zero e, por conseguinte, a afirmação é verdadeira.