IME / ITA ⇒ (ITA 1989) Geometria Espacial

[sempiterno2]

O lado da base maior de um tronco de pirâmide hexagonal regular, com bases paralelas, mede [tex3]L[/tex3] cm. A altura do tronco é igual à metade da apótema desta mesma base. As faces laterais formam um ângulo de 30º graus com a base. Calcule a apótema ([tex3]a[/tex3]), o lado [tex3]\(\ell\),[/tex3] ambos da base menor, a altura [tex3]\(h\)[/tex3] da face lateral e a área total [tex3]\(S\)[/tex3] do tronco, todos em função de [tex3]L[/tex3].

[Auto Excluído (ID: 23699)]

O lado da base é L.
O apótema da base é igual a altura de um dos triângulos equiláteros que compõem a base. Portanto, o apótema da base é [tex3]A=\frac{L\sqrt{3}}{2}[/tex3]

O enunciado nos afirma que a altura do tronco é igual a metade do apótema da base, portanto [tex3]H=\frac{L\sqrt{3}}{4}[/tex3]

Com isso podemos achar o lado (l) da base menor: temos que o ângulo que as faces laterais fazem com a base é de 30 graus. Logo, temos a formação de um triângulo retângulo. Não postarei o desenho momentaneamente.

O lado (l) será igual a L subtraído de H/tg(30)
Disso, chegamos que l = L/4

Do mesmo jeito que calculamos o apótema da base maior, concluímos que o apótema (a) da base menor é [tex3]a=\frac{L\sqrt{3}}{8}[/tex3]

O gabarito que possuo no meu livro é que a altura da face lateral (h) é 3L/4
Todavia, pelas minhas contas, cheguei em [tex3]h=\frac{\sqrt{39}L}{8}[/tex3]
Por isso, a partir daqui deixarei apenas indicado, e esperarei alguém conseguir resolver e confirmar ou anular minha resposta.

Sabendo a altura h, para calcular a área total (S) do tronco, temos que:
S = A(B) + A(b) + 6A(lat)
A área da base maior é a área de um hexágono regular de lado L.
A área da base menor é a área de um hexágono regular de lado l (já encontrado).
A área lateral é seis vezes a área de um trapézio de bases L e l com altura h.
Segundo o gabarito de meu livro, isso resultará em

[tex3]S=\left(\frac{45}{16}+\frac{51\sqrt{3}}{32}\right)L^2[/tex3]

[Tassandro]

Agora temos outro gabarito
Eu fiz assim
Apótema da base maior [tex3]\frac{\sqrt3L}2[/tex3]
Altura do tronco [tex3]\frac{\sqrt3L}4[/tex3]
Para achar a altura h da face lateral, basta fazer
[tex3]\sen30°=\frac{\frac{\sqrt3L}4}h\implies h=\frac{\sqrt3L}{2}[/tex3]
Assim, o apótema da base menor vai medir
[tex3]a=\frac{\sqrt3L}2-h\cos30°=L\(\frac{2\sqrt3-3}4\)[/tex3]
O lado da base menor é [tex3]\ell=\frac{2a}{\sqrt3}=L\(\frac{2-\sqrt3}{2}\)[/tex3]
Agora é só fazer as continhas
[tex3]A=6\frac{\ell^2\sqrt3}4+6\frac{L^2\sqrt3}4+6\cdot\(\frac{(\ell+L)}2\cdot\frac{L\sqrt3}2\)[/tex3]
Desenvolvendo, achei
[tex3]A=\frac38(19\sqrt3-18)L^2[/tex3]