Ensino Fundamental ⇒ Ponto do Interior de um Quadrado Tópico resolvido

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Seja [tex3]P[/tex3] um ponto do interior de um quadrado [tex3]ABCD[/tex3] tal que [tex3]PA = 5[/tex3], [tex3]PB = 3[/tex3] e [tex3]PC = 7[/tex3]. A medida do lado do quadrado é igual a:

a) [tex3]2\sqrt{14}[/tex3]
b) [tex3]\sqrt{58}[/tex3]
c) [tex3]2\sqrt{15}[/tex3]
d) [tex3]\sqrt{62}[/tex3]
e) [tex3]8[/tex3]

Resposta

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B

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Seja [tex3]\ell[/tex3] o lado do quadrado da figura acima.

Temos que a área do triângulo PBC pode ser escrita das seguintes formas:

[tex3]S = \frac{\ell x}{2} = \sqrt{p(p-\ell)(p-3)(p-7)}[/tex3]
[tex3]x = \frac{2}{\ell}\sqrt{p(p-\ell)(p-3)(p-7)}[/tex3]

onde [tex3]2p = 3 + 7 + \ell = 10 + \ell[/tex3]
Analogamente temos que a área do triângulo APB pode ser escrita das seguintes formas:

[tex3]S = \frac{\ell y}{2} = \sqrt{p'(p'-\ell)(p'-3)(p'-5)}[/tex3]
[tex3]y = \frac{2}{\ell}\sqrt{p'(p'-\ell)(p'-3)(p'-5)}[/tex3]

onde [tex3]2p' = 5 + 3 + \ell = 8+\ell[/tex3]
por pitágoras temos que:

[tex3]x^2 + y^2 = 9[/tex3]

ou seja:
[tex3](\frac{2}{\ell}\sqrt{p(p-\ell)(p-3)(p-7)})^2 + (\frac{2}{\ell}\sqrt{p'(p'-\ell)(p'-3)(p'-5)})^2 = 9[/tex3]
[tex3]2p(2p-2\ell)(p-3)(p-7) + 2p'(2p'-2\ell)(p'-3)(p'-5) = 9\ell^2[/tex3]

multiplicando os dois lados por 4:

[tex3]2p(2p-2\ell)(2p-6)(2p-14) + 2p'(2p'-2\ell)(2p'-6)(2p'-10) = 36\ell^2[/tex3]

substituindo [tex3]p[/tex3] e [tex3]p'[/tex3] ai em cima:

[tex3](10+\ell)(10-\ell)(\ell+4)(\ell-4) + (8+\ell)(8-\ell)(\ell+2)(\ell-2) = 36\ell ^2[/tex3]
[tex3](100-\ell^2)(\ell^2-16) + (64 - \ell^2)(\ell^2-4) = 36\ell ^2[/tex3]

o que vai dar na seguinte equação no final das contas:

[tex3]\ell^4 -92\ell^2+928 = -18\ell^2[/tex3]
[tex3]\ell^4 - 74\ell^2 + 928 = 0[/tex3]
[tex3](\ell^2 - 37)^2 - 37^2 + 928 =0[/tex3]
[tex3](\ell^2-37)^2 = 1369 - 928 = 441[/tex3]
[tex3]\ell^2 - 37 = \pm 21[/tex3]
[tex3]\ell^2 = 37 \pm 21[/tex3]

de onde ou [tex3]\ell^2 = 16 \rightarrow \ell =4[/tex3] mas ai o nosso ponto P estaria fora do quadrado
ou [tex3]\ell^2 = 37 + 21 = 58 \rightarrow \ell = \sqrt{58}[/tex3] que é a alternativa B.