Olimpíadas ⇒ (URSS - adaptada) Numeros complexos-soma dos quadrados

[Ardovino]

Questão de lista de numeros complexos, só nao entendi o que tem a ver com numeros complexos.

Se (x,y,z,t) representa uma das soluções inteiras do sistema:

xz - 2yt = 3
xt + yz = 1

. Entã um dos possíveis valores de x^2 + y^2 + z^2 + t^2 é:

a)8
b)9
c)10
d)11
e)12

Eu fiz assim:

Já que sao numeros inteiros, então para que xt + yz vire 1, ou (x,t) = (1,1) ou (y,z) = (1,1), sendo que um dos outros tem que ser 0 obviamente.
Seguindo por duas linhas diferentes:

1º caso: x = 1 e t = 1:

z + 2y = 3, um desses tem que ser zero, entao bota y =0 e entao z tem que ser 3. --> (x,y,z,t) = (1,0,3,1):

x2 + y2 + z2 + t2 = 11

2º caso: y = 1 e z = 1:

x + 2t = 3, um deles tem que ser zero, entao pondo t = 0 e entao x = 3 ---> (x,y,z,t) = (3,1,1,0)

x2 + y2 + z2 + t2 = 11.

Alguém poderia me explicar o que isso tem a ver com numeros complexos?

[mateusITA]

[tex3]xz-2yt=3[/tex3]
[tex3]x^{2}z^{2}+4y^{2}t^{2}-4xyzt=9[/tex3] (I)

[tex3]xt+yz=1[/tex3]
[tex3]x^{2}t^{2}+y^{2}z^{2}+2xyzt=1[/tex3]
[tex3]2x^{2}t^{2}+2y^{2}z^{2}+4xyzt=2[/tex3] (II)


Fazendo (I) + (II):

[tex3]x^{2}z^{2}+4y^{2}t^{2}+2x^{2}t^{2}+2y^{2}z^{2}=11[/tex3]
[tex3]x^{2}(z^{2}+2t^{2})+2y^{2}(z^{2}+2t^{2})=11[/tex3]
[tex3](x^{2}+2y^{2})(z^{2}+2t^{2})=11[/tex3]

1º caso)

[tex3]x^{2}+2y^{2}=1[/tex3]
[tex3]x^{2}=1[/tex3], [tex3]y^{2}=0[/tex3]

e

[tex3]z^{2}+2t^{2}=11[/tex3]
[tex3]z^{2}=9[/tex3], [tex3]t^{2}=1[/tex3]

2º caso)

[tex3]x^{2}+2y^{2}=11[/tex3] e [tex3]z^{2}+2t^{2}=1[/tex3]
Resolvendo de maneira análoga: [tex3]x^{2}=9[/tex3], [tex3]y^{2}=1[/tex3], [tex3]z^{2}=1[/tex3], [tex3]t^{2}=0[/tex3]

Logo,

[tex3]x^2+y^2+z^2+t^2=11[/tex3]