Olimpíadas ⇒ (ARML) - Numeros COmplexos Tópico resolvido

[Ardovino]

Se (1+x)^10 = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + ..... + a10x^10, então:

(a0 - a2 + a4 - a6 + a8 - a10)^2 + (a1 - a3 + a5 - a7 + a9)^2 é igual a:

a)3^10
b)2^10
c)2^9
d)3^9
e)1

Não faço idéia de por onde começar

[Ittalo25MOD]

Olá, Ardovino.

Pelo binômio de Newton temos:

[tex3](a_0-a_2+a_4-a_6+a_8-a_{10})^2 + (a_1-a_3+a_5-a_7+a_9)^2 =[/tex3]

[tex3](\left(\frac{10}{0}\right)-\left(\frac{10}{2}\right)+\left(\frac{10}{4}\right)-\left(\frac{10}{6}\right)+\left(\frac{10}{8}\right)-\left(\frac{10}{10}\right))^2 + (\left(\frac{10}{1}\right)-\left(\frac{10}{3}\right)+\left(\frac{10}{5}\right)-\left(\frac{10}{7}\right)+\left(\frac{10}{9}\right))^2 =[/tex3]

Com a ajuda do triângulo de Pascal:

[tex3]2^{10}[/tex3]

Abraços

[mateusITA]

Binômio de Newton:

[tex3](x+a)^{n}=\sum_{p=0}^{n}C_{n}^{p}.a^{p}.x^{n-p}[/tex3]

Então:

[tex3](1+x)^{10}=\sum_{p=0}^{n}C_{10}^{p}.x^{10-p}[/tex3]
[tex3]\sum_{p=0}^{n}C_{10}^{p}.x^{10-p}=a_{10}x^{10}+a_{9}x^{9}+...+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}[/tex3]

Logo:

[tex3]a_{10}x^{10}=C_{10}^{0}.x^{10-0}[/tex3]
[tex3]a_{10}=C_{10}^{0}[/tex3]

[tex3]a_{9}x^{9}=C_{10}^{1}.x^{10-1}[/tex3]
[tex3]a_{9}=C_{10}^{1}[/tex3]
.......

[tex3](a_{0}-a_{2}+a_{4}-a_{6}+a_{8}-a_{10})^2+(a_{1}-a_{3}+a_{5}-a_{7}+a_{9})^2=[/tex3]
[tex3](C_{10}^{10}-C_{10}^{8}+C_{10}^{6}-C_{10}^{4}+C_{10}^{2}-C_{10}^{0})^2+(C_{10}^{9}-C_{10}^{7}+C_{10}^{5}-C_{10}^{3}+C_{10}^{1})^2=[/tex3]
[tex3][(C_{10}^{10}-C_{10}^{0})-(C_{10}^{8}-C_{10}^{2})+(C_{10}^{6}-C_{10}^{4})]^2+[(C_{10}^{9}+C_{10}^{1})-(C_{10}^{7}+C_{10}^{3})+C_{10}^{5}]^2=[/tex3]
[tex3](2.C_{10}^{9}-2.C_{10}^{7}+C_{10}^{5})^2=[/tex3]
[tex3](20-240+252)^2=1024=2^{10}[/tex3]