Pré-Vestibular ⇒ (UEPG-2014) Binômios

[FabioKatsuo]

Assinale o que for correto.
01) Numa empresa, foram contratados oito novos funcionários, sendo três mulheres. Escolhidos ao acaso quatro desses novos funcionários, a probabilidade de apenas um deles ser mulher é maior do que 40%.
02) A soma das soluções da equação [tex3]\begin{pmatrix}
22 \\
10 \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
22 \\
3x-7 \\
\end{pmatrix}[/tex3] é um número par.
04) O termo médio no desenvolvimento do binômio ([tex3]\sqrt[3]{x} - \frac{2}{\sqrt{x}}[/tex3])[tex3]^{6}[/tex3] é [tex3]\frac{-160}{\sqrt{x}}[/tex3] .
08) A solução da equação [tex3]C_{n-4}^{n} + C_{n-2}^{n} = A_{2}^{n}[/tex3] é um número primo.

Resposta

---

Soma:07

Olá galera do fórum, se alguém puder me ajudar nas alternativas 02, 04 e 08 agradeço desde já!

[LucasPinafiMOD]

Boa noite!!
02) Dois números binomiais são iguais se tiverem o mesmo numerador, e:
(i) tiverem a mesma classe;
(ii) a soma de duas classes for igual ao numerador.
Tendo isso em mente, podemos resolver a equação:
[tex3]10=3x-7[/tex3] ou [tex3]10+3x-7=22[/tex3]
[tex3]x=17/3[/tex3] ou [tex3]x=19/3[/tex3]
Veja que [tex3]\frac{17+19}{3}=12[/tex3] que é um número par.
04) O termo geral de [tex3](x+y)^n[/tex3] é:
[tex3]T_{k+1}=\begin{pmatrix}n \\k \\\end{pmatrix}x^{n-k}y^k[/tex3]
Temos 6+1=7 termos no desenvolvimento desse binômio. Então, o termo médio ocorrerá quando k=3:
[tex3]t_4=\frac{6!}{3!(6-3)!}x^{(3-3)/3}(-\frac{2^3}{x^{3/2}})=20x \frac{-8}{x.x^{1/2}}=-\frac{160}{\sqrt{x}}[/tex3]
08)
[tex3]\frac{n!}{(n-4)!(n-(n-4))!}+\frac{n!}{(n-2)!(n-(n-2))!}=\frac{n!}{(n-2)!}[/tex3]
[tex3]\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)!}{24(n-4)!}+\frac{n(n-1)(n-2)!}{2(n-2)!}=\frac{n(n-1)(n-2)!}{(n-2)!}[/tex3]
[tex3](n-2)(n-3)+12=24\rightarrow n^2-5n-6=0\rightarrow n_1=-1; n_2=6[/tex3]
Somente a solução positiva é permitida. Logo, n não é um número primo.