Olimpíadas ⇒ (EUA-1999) Fatorial Tópico resolvido

[Ittalo25MOD]

Seja [tex3]a_2, a_3,a_4,a_5,a_6,a_7[/tex3] valores inteiros que satisfaçam a equação: [tex3]\frac{5}{7}=\frac{a_2}{2!}+\frac{a_3}{3!}+\frac{a_4}{4!}+\frac{a_5}{5!}+\frac{a_6}{6!}+\frac{a_7}{7!}[/tex3]. Sabendo que [tex3]0\leq a_i < i[/tex3] para i = 2,3,4,...7. Então, o valor da expressão [tex3]a_2+ a_3+a_4+a_5+a_6+a_7[/tex3] é igual a:

Resposta

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9

[PedroCunha]

Up!

[Auto Excluído (ID:12031)]

tranquilo, multiplica tudo por 24 (4!)
[tex3]5\cdot\frac{4!}{7} = 12a_2 + 4a_3 + a_4 + \frac{42a_5 + 7a_6 + a_7}{210}[/tex3]

repare ai que a parte fracionária é menor que 1, pois seu valor máximo é:

[tex3]\frac{42\cdot4 +7\cdot5+6}{210} = \frac{209}{210}<1[/tex3]

a parte fracionaria do lado esquerdo:

[tex3]\frac{5\cdot 24}{7} = \frac{120}{7} = 17 + \frac{1}{7}[/tex3]

basta resolver

[tex3]\begin{cases}
17=12a_2 + 4a_3 + a_4\\
\frac{1}{7} = \frac{42a_5 + 7a_6 + a_7}{210}
\end{cases}[/tex3]

a solução da primeira equação a gente faz meio que por tentativa, é até fácil, a resposta é:
[tex3]a_2 = 1\,\,\,\,a_3=1\,\,\,\,\,\,a_4=1[/tex3]

da segunda:

[tex3]30 = 42a_5 + 7a_6 + a_7[/tex3]
então
[tex3]a_5=0 \,\,\,\,\, a_6 = 4 \,\,\,\,\,\,\, a_7 = 2[/tex3]

então a soma [tex3]a_2+ a_3+a_4+a_5+a_6+a_7 = 1 + 1 + 1 + 0 + 4 + 2 = 3 + 6 = 9[/tex3]

entendeu ?