Ensino Médio ⇒ Teorema das Bissetrizes Tópico resolvido

[fabinhosnow]

Em um triângulo ABC, BC = a e AB/AC = 3/2, calcule o comprimento da altura relativa ao lado a sabendo que ela é a máxima possível

Resposta

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R: ha = 5/4 de a

[Auto Excluído (ID:12031)]

[tex3]S = \frac{a\cdot h_a}{2} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex3]

chamando o lado [tex3]AC[/tex3] de [tex3]x[/tex3] teremos [tex3]AB = \frac{3x}{2}[/tex3]
[tex3]2p = a + x + \frac{3x}{2} = a + \frac{5x}{2}[/tex3]
[tex3]4p = 2a + 5x[/tex3]

[tex3]a^2h_a^2 = 4p(p-a)(p-x)(p-\frac{3x}{2})[/tex3]
[tex3]64a^2h_a^2(x) = 4p(4p-4a)(4p-4x)(4p-6x)[/tex3]

chamando [tex3]64a^2h_a^2(x)[/tex3] de [tex3]g(x)[/tex3] queremos o máximo de [tex3]g[/tex3]

[tex3]g(x) = (2a+5x)(5x-2a)(2a+x)(2a-x)[/tex3]
[tex3]g(x) = (25x^2-4a^2)(4a^2-x^2) = 100a^2x^2 - 25x^4 -16a^4 + 4a^2x^2 = -25x^4 + 104a^2x^2 -16a^4[/tex3]

chamando [tex3]x^2 = y[/tex3]

[tex3]g(y) = -25y^2 + 104a^2y - 16a^4[/tex3]

o y do vértice será [tex3]y = -\frac{b}{2a} = \frac{-104a^2}{-50} = \frac{52a^2}{25}[/tex3]
e o valor máximo de g será [tex3]-\frac{\Delta}{4a} = a^4\frac{104^2-1600}{100} = a^4\frac{9216}{100}[/tex3]
de onde
[tex3]64a^2h_a^2 = \frac{96^2 a^4}{10^2}[/tex3]
[tex3]8ah_a = \frac{96a^2}{10}[/tex3]
[tex3]h_a = \frac{12a}{10} = \frac{6a}{5}[/tex3]

você tem certeza do gabarito ?

[fabinhosnow]

Sim, esta questão é do livro do morgado, bem como o gabarito

[fabinhosnow]

Desculpe-me, seu gabarito está certo