Maratonas de Física ⇒ I Maratona de Física FUVEST/UNICAMP

[PedroCunha]

Solução do problema 10

Letra a:

O trabalho gerado pela diferença de potencial [tex3]V[/tex3] é igual a variação da energia cinética. Assim:

[tex3]q \cdot V = \frac{m \cdot v^2}{2} + \frac{m \cdot 0^2}{2} \therefore v = \sqrt{\frac{2qV}{m}}[/tex3]

Letra b:

A força criada pelo campo magnético age como resultante centrípeta da trajetória circular. Logo (velocidade perpendicular ao campo magnético):

[tex3]q \cdot v \cdot B = m \cdot \frac{v^2}{R} \therefore m = \frac{q \cdot B \cdot R}{v} \therefore m^2 = \frac{m \cdot q^2 \cdot B^2 \cdot R^2}{2 \cdot q \cdot V} \Leftrightarrow m = \frac{qB^2R^2}{2V}[/tex3]

Letra c:

Para o primeiro pico:

[tex3]m_1 = \frac{1,6 \cdot 10^{-19} \cdot \frac{2}{10^2} \cdot 10^{-2} }{2 \cdot 10^4} = 1,6 \cdot 10^{-27}kg = 1u[/tex3]

Para o segundo pico:

[tex3]m_2 = \frac{1,6 \cdot 10^{-19} \cdot \frac{4}{10^2} \cdot 10^{-2}}{2 \cdot 10^4} = 3,2 \cdot 10^{-27}kg = 2u[/tex3]

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Problema 11

(UNICAMP-2000) As histórias de super-heróis estão sempre repletas de feitos incríveis. Um desses feitos é o salvamento, no último segundo, da mocinha que cai de uma grande altura. Considere a situação em que a desafortunada caia, a partir do repouso, de uma altura de [tex3]81,0 m[/tex3] e que nosso super-herói a intercepte 1,0 m antes dela chegar ao solo, demorando [tex3]0,05 s[/tex3] para detê-la, isto é, para anular sua velocidade vertical. Considere que a massa da mocinha é de [tex3]50 kg[/tex3] e despreze a resistência do ar.

a) Calcule a força média aplicada pelo super-herói sobre a mocinha, para detê-la.
b) Uma aceleração [tex3]8[/tex3] vezes maior que a gravidade [tex3](8g)[/tex3] é letal para um ser humano. Determine quantas vezes a aceleração à qual a mocinha foi submetida é maior que a aceleração letal.

Resposta

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Letra a: [tex3]40500N[/tex3]
Letra b: 80 vezes.

[LucasPinafiMOD]

Solução problema 11

a) Como a moça estava em queda livre, e considerando g=10 m/s²:
[tex3]v^2=v_0^2+2g(81-1)\rightarrow v^2=0+2.10.80\rightarrow v=40[/tex3] m/s
Como foi dado que o super-herói para a moça em 0,05 segundos, podemos calcular a aceleração:
[tex3]v=v_0-at\rightarrow 0=40-a.0,05\rightarrow a=800[/tex3] m/s²
Logo, a força aplicada pode ser calculada pela 2° Lei de Newton; (seja F a força que o herói aplica e P o peso da moça)
[tex3]F_r=(F-P)\rightarrow ma+P=F\rightarrow F=m(a+g)\rightarrow F=50(10+800)=40500[/tex3] N

b) Vimos que [tex3]a=800[/tex3] m/s²:
[tex3]a=800=80.10=80g[/tex3]

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Problema 12

(Fuvest-1995).A figura mostra o corte transversal de um cilindro de eixo vertical com base de área igual a 500 cm², vedado em sua parte superior por um êmbolo de massa m que pode deslizar sem atrito. O cilindro contém 0,50 mol de gás que se comporta como ideal. O sistema está em equilíbrio a uma temperatura de 300K e a altura h, como indicado na figura, vale 20 cm. Adote para a constante dos gases o valor R =8J/mol.K, para a aceleração da gravidade g=10 m/s² e para a pressão atmosférica local [tex3]1.10^5[/tex3] N/m².

questao gas.png (7.53 KiB) Exibido 10291 vezes

Determine:

a) A massa do êmbolo em kg;
b) o trabalho realizado pelo gás quando sua temperatura é elevada lentamente até 420 K.

Resposta

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a) 100kg b) 480 J

[Ittalo25MOD]

Solução do problema 12

a)

Se em equilíbrio, as forças externas são iguais às forças internas:

[tex3]P_{embolo}+F_{externa} = F_{interna}[/tex3]

[tex3]m.g+10^5.0,05 = \frac{n.r.\Delta T.0,05}{v}[/tex3]

[tex3]10m+10^5.5.10^{-2} = \frac{0,5.8.300.0,05}{0,05.0,2}[/tex3]

[tex3]10m+5.10^{3} = 6000[/tex3]

[tex3]m = 100kg[/tex3]

b)

[tex3]T = P.\Delta V[/tex3]

[tex3]T = n.r.(420-300)[/tex3]

[tex3]T = 0,5.8.120[/tex3]

[tex3]T = 480J[/tex3]

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Problema 13

(Fuvest-2001) Considerando o fenômeno de ressonância, o ouvido humano deveria ser mais sensível a ondas sonoras com comprimentos de ondas cerca de quatro vezes o comprimento do canal auditivo externo, que mede, em média, 2,5 cm. Segundo esse modelo, no ar, onde a velocidade de propagação do som é 340 m/s, o ouvido humano seria mais sensível a sons com frequências em torno de:

a) 34 Hz
b) 1320 Hz
c) 1700 Hz
d) 3400 Hz
e) 6800 Hz

Resposta

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D)

[PedroCunha]

Solução do problema 13

Jogando os dados na Lei Fundamental da Ondulatória:

[tex3]340 = (4 \cdot 2,5 \cdot 10^{-2}) \cdot f \therefore f = 3400Hz[/tex3]

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Problema 14

(UNICAMP-2000) Um carregador em um depósito empurra uma caixa de [tex3]20 kg[/tex3], que inicialmente estava em repouso. Para colocar a caixa em movimento, é necessária uma força horizontal de [tex3]30 N[/tex3]. Uma vez iniciado o deslizamento, são necessários [tex3]20 N[/tex3] para manter a caixa movendo-se com velocidade constante.
a) Determine os coeficientes de atrito estático e cinético entre a caixa e o solo.
b) Determine o trabalho realizado pelo carregador ao arrastar a caixa por [tex3]5 m[/tex3].
c) Qual seria o trabalho realizado pelo carregador se a força horizontal aplicada inicialmente fosse de [tex3]20 N[/tex3]? Justifique sua resposta.

Resposta

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Letra a: [tex3]u_e = 0,15 \hspace{25mm} u_c = 0,10[/tex3]
Letra b: [tex3]W = 100J[/tex3]
Letra c: Nenhum, pois a caixa não se moveria.

[Ittalo25MOD]

Solução do problema 14

a)

[tex3]F = F_{at}[/tex3]

[tex3]30 = N.u_e[/tex3]

[tex3]30 = 20.10.u_e[/tex3]

[tex3]u_e=0,15[/tex3]

também:

[tex3]20 = N.u_d[/tex3]

[tex3]u_d = 0,1[/tex3]

b)

[tex3]T = F.d[/tex3]

[tex3]T = 20.5[/tex3]

[tex3]T = 100J[/tex3]

c)

A força necessária pro carrinho se movimentar é de 30N, com uma força de 20N ele não se movimentaria, logo d = 0

[tex3]T = F.d[/tex3]

[tex3]T = 20.0[/tex3]

[tex3]T = 0J[/tex3]

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Problema 15

(Fuvest) Uma fonte emite ondas sonoras de 200 Hz. A uma distância de 3 400 m da fonte, está instalado um aparelho que registra a chegada das ondas através do ar e as remete de volta através de um fio metálico retilíneo. O comprimento dessas ondas no fio é 17 m. Qual o tempo de ida e volta das ondas?
Dado: Velocidade do som no ar = 340 m/s

a) 11 s
b) 17 s
c) 22 s
d) 34 s
e) 200 s

Resposta

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a)

[LucasPinafiMOD]

Solução problema 15
A onda descreve um MRU. Seja [tex3]T_1[/tex3] o tempo que ela leva para percorrer da fonte até o receptor e [tex3]T_2[/tex3] o tempo que ela leva para percorrer o caminho inverso:
[tex3]v_{ar}=\frac{d}{T_1}\rightarrow T_1=\frac{3400}{340}=10[/tex3] s
Calculamos a velocidade da onda no fio através da relação fundamental da ondulatória:
[tex3]v_{fio}=f\lambda[/tex3]
[tex3]T_2=\frac{3400}{17.200}=1[/tex3] s
Logo, o tempo total é T=10+1=11s

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Problema 16
(Unicamp-2006) Um brinquedo que muito agrada às crianças são os lançadores de objetos em uma pista. Considere que uma mola de constante elástica k=8000 N/m e massa desprezível está, inicialmente comprimida de 2,0cm, e ao ser liberado, empurra um carrinho de massa 0,20kg. O carrinho abandona a mola quando esta atinge o seu comprimento relaxado, e percorre uma pista que termina em uma rampa. Considere que não há perda de energia mecânica por atito no movimento do carrinho:

a) Qual é a velocidade do carrinho quando ele abandona a mola?
b) Na subida da rampa. a que altura o carrinho tem velocidade de 2,0 m/s?
(adote g=10 m/s²)

Resposta

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a) 4,0 m/s b)0,60 m

[PedroCunha]

Solução do problema 16

Letra a:

A energia potencial elástica irá se converter em energia cinética. Então:

[tex3]\frac{kx^2}{2} = \frac{mv^2}{2} \therefore 8 \cdot 10^3 \cdot 4 \cdot 10^{-4} = 2 \cdot 10^{-1} \cdot v^2 \therefore v = 4,0m/s[/tex3]

Letra b:

Como não existe atrito, podemos aplicar a conservação de energia mecânica:

[tex3]\frac{mv_0^2}{2} = mgh + \frac{mv^2}{2} \therefore 16 = 20h + 4 \therefore h = 0,60m[/tex3]

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Problema 17

(FUVEST-1998) No anel do Lab. Nac. de Luz Sincrotron em Campinas, SP, representado simplificadamente na figura, elétrons (e) se movem com velocidade [tex3]v \approx c \approx 3 \cdot 10^8 m/s[/tex3] formando um feixe de pequeno diâmetro, numa órbita circular de raio [tex3]R = 32m[/tex3]. O valor da corrente elétrica, devido ao fluxo de elétrons através de uma seção transversal qualquer do feixe, vale [tex3]0,12A[/tex3].

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a) Calcule o número total [tex3]n[/tex3] de de elétrons contidos na órbita.
b) Considere um feixe de pósitrons (p), movendo-se em sentido oposto no mesmo tubo em órbita a [tex3]1[/tex3] cm da dos elétrons, tendo velocidade, raio e corrente iguais as dos elétrons.
Determine o valor aproximado da força de atração [tex3]\vec{F}[/tex3] , de origem magnética, entre os dois feixes, em N.

1) Pósitrons são partículas de massa igual à dos elétrons com carga positiva igual em módulo à dos elétrons.
2) Como [tex3]R >> d[/tex3], no cálculo de [tex3]\vec{F}[/tex3], considere que o campo produzido por um feixe pode ser calculado como o de um fio retilíneo.
3) Carga de 1 elétron [tex3]q = -1,6 \cdot 10^{-19}[/tex3] coulomb.
4) Módulo do vetor indução magnética B, criado a uma distância r de um fio retilíneo percorrido por uma corrente i, é: [tex3]B = 2 \cdot 10^{-7}i/r[/tex3] sendo B em tesla (T), i em ampère e r em metro (m).

Resposta

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Letra a: [tex3]n \approx 5,0 \cdot 10^{11}[/tex3]
Letra b: [tex3]F_{mag} \approx 5,8 \cdot 10^{-5}N[/tex3]

[LucasPinafiMOD]

Solução problema 17

a) A corrente é elétrica é por definição, dada por [tex3]i=Q/\Delta T[/tex3]. O intervalo de tempo será igual ao período T:
[tex3]T=\frac{2\pi R}{v}[/tex3]
[tex3]i=\frac{Q}{T}=\frac{ne}{\frac{2\pi R}{v}}\rightarrow nev=i2\pi R\rightarrow n=i2\pi R/ev[/tex3]
[tex3]n \approx5,0.10^11[/tex3]

b) Como podemos considerar a força sendo num fio retilíneo, temos:
[tex3]F=Bil=2.10^{-7}.\frac{0,12}{0,01}.2\pi .32\approx5,8.10^{-5}N[/tex3]

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Problema 18

(Fuvest-95) Um corpo de massa m está em movimento circular sobre um plano horizontal, preso por uma haste rígida de massa desprezível e comprimento R. A outra extremidade da haste está presa a um ponto fixo P, como mostra a figura. O coeficiente de atrito entro o corpo e o plano vale [tex3]\mu[/tex3], constante, e a aceleração do local é g. Num dado instante o corpo tem velocidade v e direção paralela ao plano e perpendicular à haste:

questao bloco.png (2.57 KiB) Exibido 10243 vezes

Calcule:

a) Qual deve ser o valor de v para que o corpo pare após 2 (duas) voltas completas?

b) Qual o tempo gasto pelo corpo para percorrer a última volta antes de parar?

c) Qual o trabalho realizado pela força de atrito durante a última volta?

Resposta

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[tex3]a)\sqrt{8\pi\mu gR}\\\\b)t=2\sqrt{\frac{\pi R}{\mu g}}\\\\ c)-\mu mg(2 \pi R)[/tex3]

[PedroCunha]

Solução do problema 18

Letra a:

A energia cinética quando o corpo tiver uma velocidade [tex3]v[/tex3] é: [tex3]\frac{mv^2}{2}[/tex3]
A força de atrito é dada por: [tex3]F_a = m \cdot g \cdot \mu[/tex3]
Espaço percorrido durante as duas voltas: [tex3]4\pi R[/tex3]
Trabalho realizado pela força de atrito: [tex3]m \cdot g \cdot \mu \cdot 4\pi R[/tex3]

Assim:

[tex3]\frac{mv^2}{2} = m \cdot g \cdot \mu \cdot 4\pi R \Leftrightarrow v = \sqrt{8\pi R g \mu}[/tex3]

Letra b:

A velocidade ao final da primeira volta é:

[tex3]0^2 = v'^2 + 2 \cdot (-\mu \cdot g) \cdot 2\pi R \Leftrightarrow v' = 2\sqrt{\pi R \mu g}[/tex3]

Então:

[tex3]0 = 2\sqrt{\pi \cdot R \mu g } + (-\mu g) \cdot t \therefore t = \frac{2\sqrt{\pi \cdot R \cdot \mu g}}{\mu g} = \frac{2\sqrt{\pi \cdot R \cdot \mu g}}{\sqrt{(\mu g)^2}} = 2\sqrt{\frac{\pi \cdot R}{\mu g}}[/tex3]

Letra c:

O trabalho realizado pela força de atrito é igual a variação da energia cinética. Assim:

[tex3]\delta_{at} = 0 - \frac{m \cdot (2\sqrt{\pi R \mu g})^2}{2} = -2m\pi R \mu g[/tex3]

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Problema 19

(FUVEST-1998) Um brinquedo é constituído por um cano (tubo) em forma de [tex3]\frac{3}{4}[/tex3] de arco de circunferência, de raio médio R, posicionado num plano vertical, como mostra a figura. O desafio é fazer com que a bola 1, ao ser abandonada de uma certa altura H acima da extremidade B, entre pelo cano em A, bata na bola 2 que se encontra parada em B, ficando nela grudada, e ambas atinjam juntas a extremidade A. As massas das bolas 1 e 2 são [tex3]M_1[/tex3] e [tex3]M_2[/tex3], respectivamente. Despreze os efeitos do ar e das forças de atrito.

a) Determine a velocidade v com que as duas bolas grudadas devem sair da extremidade B do tubo para atingir a extremidade A.

b) Determine o valor de H para que o desafio seja vencido.

Resposta

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Letra a: [tex3]\sqrt{\frac{gR}{2}}[/tex3]
Letra b: [tex3]\frac{R}{4} \cdot \left( 1 + \frac{M_2}{M_1} \right)^2[/tex3]

[LucasPinafiMOD]

Solução problema 19

a) As bolas devem percorrer o raio R tanto na horizontal quanto na vertical. Assim, temos:
[tex3]R=v_0t[/tex3] (i)
[tex3]R=v_{0y}t+\frac{gt^2}{2}\rightarrow R=0+\frac{gt^2}{2}\rightarrow \frac{2R}{g}=t^2[/tex3] (ii)
Colocando (ii) em (i), resulta:
[tex3]R^2=v_0^2t^2\rightarrow R^2=v_0^2\frac{2R}{g}\rightarrow v_0=\sqrt{\frac{Rg}{2}}[/tex3]

b) A bolinha 1 deve ter sua energia mecânica conservada entre os pontos A e B:
[tex3]m_1gh=m_1 \frac{v^2_1}{2}\rightarrow v_1=\sqrt{2gh}[/tex3] (i)
Na colisão com a bola 2, a quantidade de movimento linear deve ser conservada:
[tex3](m_1+m_2)v_0=m_1v_1\rightarrow (m_1+v_1)\sqrt{\frac{Rg}{2}}=m_1\sqrt{2gh}[/tex3]
[tex3](m_1+v_1)^2 \frac{Rg}{2}=m_1^22gh\rightarrow h=\frac{R}{4}\(\frac{m_1+m_2}{m_1}\)^2[/tex3]

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Problema 20

(Unicamp-2002) A existência do neutrino e do anti-neutrino foi proposta em 1930 por Wolfgang Pauli, que aplicou as leis de conservação de quantidade de movimento e energia ao processo de desintegração β. O esquema abaixo ilustra esse processo para um núcleo de trítio, [tex3]H^3[/tex3] (um isótopo do hidrogênio), que se transforma em um núcleo de hélio, [tex3]He^3[/tex3], mais umelétron, e–, e um anti-neutrino, V. O núcleo de trítio encontra-se inicialmente em repouso. Após a desintegração, o núcleo de hélio possui uma quantidade de movimento com módulo de 12 x [tex3]10^{-24}[/tex3] kg m/s e o elétron sai em uma trajetória fazendo um ângulo de 60º com o eixo horizontal e uma quantidade de movimento de módulo [tex3]6,0.10^{-24}[/tex3] kg m/s.

questao neutrino.png (4.88 KiB) Exibido 10239 vezes

a) O ângulo α que a trajetória do anti-neutrino faz com o eixo horizontal é de 30°. Determine o módulo da quantidade de movimento do anti-neutrino.
b) Qual é a velocidade do núcleo de hélio após a desintegração? A massa do núcleo de hélio é 5,0 x [tex3]10^{-27}[/tex3] kg.

Resposta

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Letra a: [tex3]Q_{\vec{V}} = 1,0 \cdot 10^{-23} kg \,\, m/s[/tex3]
Letra b: [tex3]v = 2,4 \cdot 10^3m/s[/tex3], direção: horizontal, sentido: para a esquerda