Ensino Médio ⇒ Geometria Plana: Teorema de Descartes Tópico resolvido

[paulo testoniMOD]

Considerem a seguinte figura: três circunferências de raios [tex3]6\text{ cm},[/tex3] [tex3]7\text{ cm}[/tex3] e [tex3]8\text{ cm}[/tex3] tangenciando-se externamente de modo que a primeira tangencia a segunda; a segunda tangencia a terceira e esta tangencia a primeira. Tal figura está inscrita numa circunferência de raio [tex3]R.[/tex3] Qual a medida de [tex3]R?[/tex3]

a) [tex3]\frac{164}{11} \text{ cm.}[/tex3]
b) [tex3]\frac{165}{11} \text{ cm.}[/tex3]
c) [tex3]\frac{167}{11} \text{ cm.}[/tex3]
d) [tex3]\frac{168}{11} \text{ cm.}[/tex3]

[cajuADMIN]

Olá Paulo,

Esta questão é uma aplicação direta do Teorema de Descartes.

Sempre que tivermos essa composição de três circunferências de raios [tex3]R_1[/tex3], [tex3]R_2[/tex3] e [tex3]R_3[/tex3], os raios [tex3]r[/tex3] das circunferências inscrita e circunscrita é dado pela fórmula:

[tex3]\frac{1}{r}=\left|\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}\pm 2\sqrt{\frac{1}{R_1R_2}+\frac{1}{R_2R_3}+\frac{1}{R_3R_1}}\right|[/tex3]

Onde o sinal positivo gera o raio da circunferência circunscrita e o negativo da inscrita. Usamos o módulo, pois se você olhar a demonstração, esta fórmula faz referência à  curvatura, que é o inverso do raio e pode ser negativa.

Uma prova para este teorema (nada trivial) pode ser encontrado neste ebook na página 157.

Aplicando a fórmula, com o sinal negativo (devido ao enunciado) obtemos a resposta (d).

[paulo testoniMOD]

Hola Caju.

Agradeço a sua solução, mas trocastes meu nome.

[cajuADMIN]

Opa, descuido... mas já consertei o erro.
Peço desculpas...

[paulo testoniMOD]

Hola Caju.

Vc não precisa se desculpar, isso acontece devido a rotina constante na resolução de problemas.