Ensino Médio ⇒ Unidade imaginária Tópico resolvido

[Henrique10]

Sabemos que [tex3]x^2=b\rightarrow x= \pm \sqrt{b}[/tex3].

Se [tex3]i^2=-1[/tex3], por que [tex3]i[/tex3] não pode ser também igual a [tex3]-\sqrt{-1}[/tex3]?

Outra dúvida, em uma vídeo-aula aparece que [tex3]\sqrt{-4}=\pm 2i[/tex3]. Isso está certo?

Última dúvida. Se [tex3](\sqrt{a})^2 = |a|[/tex3], por que é errado que [tex3]i^2 =( \sqrt{-1})^2 =|-1| = 1[/tex3] ?

Obrigado.

[jrneliodias]

Olá, Henrique10.

A propriedade [tex3](\sqrt a)^2=|a|[/tex3] é válida nos Reais. Nos Complexos, a raiz enésima de um número possui n valores (2º Lei de Moivre). Logo, se [tex3]x^2=b[/tex3], então [tex3]x=\sqrt b[/tex3] no qual encontraremos duas respostas usando as Leis de Moivre.

Por isso, [tex3]\sqrt{-4}=\pm 2i[/tex3]

[Vinisth]

Uma equação do tipo [tex3]x^2+1=0 \implies x^2=-1[/tex3]. Aqui você só entende que um certo número elevado ao quadrado resulta em -1. No conjunto dos números reais isso não pode acontecer, pois qualquer quadrado é sempre positivo, porém existem vários tipos de equação, como sitado acima, que resulta sempre no mesmo "problema". Desta forma há uma necessidade de criar novas operações, com novas propriedades e tirar consequências disso. Sendo assim, uma nova ferramenta na matemática é criada. E são feitos axiomas do tipo :

[tex3]i^2=i \cdot i=-1\\
i^3=-i\\
i^4 = 1\\
i^5= i\\
i^6=-1[/tex3]

Essa seria uma consequência do resultado discutido. Existem outros axiomas.
O conjunto dos complexos é útil para resolver equações, mesmo no campo dos reais, por incrível que pareça. Vou te dar um exemplo.
[tex3](\cos(x)+i\sin(x))^n=\cos(nx)+i\sin nx \ \ n \in N[/tex3] Isso é fácil de se provar, sugiro que pesquise se quiser.
Seja n=2 você pode encontrar o cosseno e o seno do arco duplo apenas agrupando a parte real e a imaginária.
[tex3]\cos^2(x)-\sin^2(x) +2i \sin x \cos x = \cos(2x)+i\sin 2x[/tex3]
Seja n qualquer valor você vai achar o arco n de qualquer valor. Desta forma você pode aplicar o teorema do Binômio de Newton e descobrir a fórmula individual de cada função do arco n. Espero que compreenda um pouco, como funciona quando se descobrem novas propriedades em matemática e como as coisas vão se modelando.

Abraço !