Ensino Superior ⇒ Equação diferencial de segunda ordem Tópico resolvido

[garciax]

Como resolvo essa equação diferencial de segunda ordem?
[tex3]x^{2}[/tex3] y'' + xy' - 4y = 0

[candre]

[tex3]x^2\frac{d^2y}{dx^2}+x\frac{dy}{dx}-4y=0[/tex3]
pelo formato temos que esta e uma equação de euler-cauchy de coeficientes constantes e homogênea, logo a solução e do tipo
[tex3]y=x^r\\
y'=rx^{r-1}\\
y''=r(r-1)x^{r-2}\\
x^2y''+xy'-4y=0\\
x^2r(r-1)x^{r-2}+xrx^{r-1}-4x^r=0\\
x^r[r(r-1)+r-4]=0[/tex3]
para que esta seja valida para todo [tex3]x[/tex3] real, temos
[tex3]r(r-1)+r-4=0\\
r^2-r+r-4=0\\
r^2-4=0\\
r^2=4\\
r=\pm2[/tex3]

detalhes

---

temos que se [tex3]y_1[/tex3] e [tex3]y_2[/tex3] são duas soluções da equação diferencial [tex3]x^2y''+xy'-4y=0[/tex3] então a combinação linear [tex3]y=\alpha y_1+\beta y_2[/tex3] também sera solução
sendo que:
[tex3]x^2y_1''+xy_1'-4y_1=0\\
x^2y_2''+xy_2'-4y_2=0[/tex3]
logo fazendo [tex3]y=\alpha y_1+\beta y_2[/tex3] e usando a linearidade da derivada entre outras propriedades
[tex3]x^2(\alpha y_1+\beta y_2)''+x(\alpha y_1+\beta y_2)'-4(\alpha y_1+\beta y_2)\\
=\alpha(x^2y_1''+xy_1'-4y_1)+\beta(x^2y_2''+xy_2'-4y_2)=\alpha 0+\beta 0=0[/tex3]

logo a solução sera
[tex3]y=C_1x^{-2}+C_2x^{2}[/tex3]

[Vinisth]

Olá garciax,

[tex3]x^{2}y'' + xy' - 4y = 0[/tex3]

Por hipótese, uma solução seria [tex3]y(x)=x^{\alpha} \ \alpha \in R[/tex3], substituindo na eq.

[tex3]x^{2}\frac{\mathrm{d^2} x^{\alpha}}{\mathrm{d} x^2}+x\frac{\mathrm{d} x^{\alpha}}{\mathrm{d} x}-4x^{\alpha}= 0[/tex3]

Fazendo as substituições [tex3]\frac{\mathrm{d^2} x^{\alpha}}{\mathrm{d} x^2} = (\alpha-1)\alpha x^{\alpha-2}[/tex3] e [tex3]\frac{\mathrm{d} x^{\alpha}}{\mathrm{d} x}=\alpha x^{\alpha-1}[/tex3], chegamos em :

[tex3](\alpha^2 -4)x^{\alpha}=0 \implies \alpha = \pm 2[/tex3]

Por fim:

[tex3]y(x)=\frac{k_1}{x^2}+k_2 x^2[/tex3], onde [tex3]k_1, \ k_2[/tex3] são constantes.

Abraço !

[garciax]

Gente, muito obrigada! Entendi perfeitamente, ambas respostas estão corretas! valeu