Ensino Superior ⇒ Equação diferencial ordinária Tópico resolvido

[garciax]

Como resolvo?

a) [tex3]\frac{dy}{dx}[/tex3]=(1-y)(2-y)

b) (x+3y)-x [tex3]\frac{dy}{dx}[/tex3] = 0

c)[tex3]\frac{dy}{dx}[/tex3] senx+ycosx=1

[LucasPinafiMOD]

Boa noite garciax;
a) [tex3]\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=(1-y)(2-y) \Rightarrow \frac{\mathrm{d}y}{(1-y)(2-y)}=\mathrm{d}x[/tex3]
[tex3]\int \frac{1}{(1-y)(2-y)}\mathrm{d}y=\int dx[/tex3]
Para calcular a primeira integral, admitiremos que existem constantes A e B tais que:
[tex3]\frac{A}{1-y}+\frac{B}{2-y}=\frac{1}{(1-y)(2-y)} \Longleftrightarrow A(2-y)+B(1-y)=1[/tex3]
Resolvendo, encontramos [tex3]A=1[/tex3] e [tex3]B=-1[/tex3], logo
[tex3]\int [\frac{1}{1-y}-\frac{1}{2-y}]\mathrm{d}y=x+k_1[/tex3]
[tex3]-\ln|1-y|+\ln|2-y|=x+k_1 \Rightarrow \ln|\frac{2-y}{1-y}|=x+k_1[/tex3]
[tex3]\frac{2-y}{1-y}=ke^x[/tex3], onde [tex3]k=e^{k_1}[/tex3]
[tex3]2-y=ke^x-yke^x \Rightarrow y(ke^x-1)=ke^x-2 \Longleftrightarrow y=\frac{ke^x-2}{ke^x-1}[/tex3]
b) [tex3]x+3y =x \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \Rightarrow 1+3 \frac{y}{x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}[/tex3]
Fazemos a substituição [tex3]u =\frac{y}{x}[/tex3]
[tex3]1+3u =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[xu] \Rightarrow 1+3u=u+x. \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}[/tex3]
[tex3]1+2u= x \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} \Rightarrow \frac{dx}{x}=\frac{du}{1+2u}[/tex3]
[tex3]\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x=\int \frac{1}{1+2u}du \Rightarrow \ln|x|+k_1=\frac{1}{2}\ln|1+2u|[/tex3]
[tex3]x+k=\sqrt{1+2u} \Longleftrightarrow x= \sqrt{1+2 \frac{y}{x}}-k[/tex3], onde [tex3]k=e^{k_1}[/tex3]
Espero ter ajudado
*não vi que tinha a letra c, editando:
c) [tex3]\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\sin x+ y\cos x=1 \Rightarrow \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\csc x- y \cot x \Rightarrow \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+y.\cot x=\csc x[/tex3]
[tex3](\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+ y \cot x)e^{-\ln \sin x} = \csc^2x[/tex3]
[tex3]\frac{\mathrm{d}}{dx}[ye^{-\ln \sin x}]= \csc^2x \Longleftrightarrow \mathrm{d}[ye^{-\ln \sin x}]=\csc^2 x \mathrm{d}x[/tex3]
[tex3]ye^{-\ln \sin x}=k+\int \csc^2 x dx \Rightarrow y=ke^{ln \sin x}+e^{\ln \sin x} (-\cot x)[/tex3]
[tex3]y=k\sin x- \sin x \frac{\cos x}{\sin x}=k \sin x -\cos x \Longleftrightarrow y=k \sin x- \cos x[/tex3]

[garciax]

Ajudou muito!
Se possível me ajude com a letra c também...

Na letra b, a partir de seus cálculos isolei o y, confere pra mim se está correto a resposta:

y=[tex3]\left(\frac{x^{3}-x}{2}\right)[/tex3]

[LucasPinafiMOD]

Sim, está correto.
Quanto a letra c, já fiz ela. Está editado ali em cima, não tinha visto ela.
Abraço.