Ensino Fundamental ⇒ Triângulo Retângulo - Geo Plana Tópico resolvido

[Hoshyminiag]

Num triângulo retângulo, o segmento de reta que une o baricentro ao incentro é paralelo a um dos catetos. Calcular a hipotenusa desse triângulo sabendo-se que sua área é de 600 cm².

a) 40 cm
b) 50 cm
c) 60 cm
d) 75 cm
e) 80 cm

Sem gabarito

[Auto Excluído (ID:12031)]

Quando a reta que une o baricentro ao incentro de um triângulo qualquer é paralela a um dos lados, temos que os lados deste triângulo estão em P.A (progressão aritmética).
O lado que é paralelo a reta ligando os pontos notáveis é o lado médio da P.A . Como o triângulo é retângulo e seus lados são da forma [tex3]a-r,a,a+r[/tex3] ( e a distância do incentro ao baricentro vale [tex3]\frac{r}{3}[/tex3] )

A prova dessa propriedade está aqui:
viewtopic.php?t=39296

teremos:

[tex3](a+r)^2 = a^2 + (a-r)^2[/tex3]
[tex3]2ar = a^2 - 2ar[/tex3]
[tex3]2r = a - 2r[/tex3]
[tex3]a = 4r[/tex3]

os catetos são então:

[tex3]4r[/tex3]
[tex3]3r[/tex3]
A área é:
[tex3]\frac{4r\cdot 3r}{2} = 6r^2[/tex3]
[tex3]6r^2 = 600[/tex3] cm²
[tex3]r = 10[/tex3] cm
a hipotenusa é então [tex3]5r = 50[/tex3]