Pré-Vestibular ⇒ (FEI-2015/1) Função Tópico resolvido

[jose carlos de almeida]

O conjunto imagem da função [tex3]f(x)=\begin{cases}-x+4,se\,\ x\leq2\\2,se\, -1\leq{x}<2\\x+3,se\,\ x<-1\end{cases}[/tex3] é:

a) [tex3]Im(f) = \{y\in\mathbb{R}/y>-1\}[/tex3]
b) [tex3]Im(f) = \{y\in\mathbb{R}/y\leq2\}[/tex3]
c) [tex3]Im(f) = \{y\in\mathbb{R}/-1\leq{y}\leq2\}[/tex3]
d) [tex3]Im(f) = \{y\in\mathbb{R}/y\geq2\}[/tex3]
e) [tex3]Im(f) = \mathbb{R}[/tex3]

Resposta

---

b

[LucasPinafiMOD]

Bom dia José Carlos, tudo bem? ((:
Bem, acredito que vc deve ter se confundido ao escrever o domínio da função:
[tex3]f(x)=\begin{cases}
-x+4, x \geq 2 \\
2, -1 \leq x<2 \\
x+3, x<-1
\end{cases}[/tex3]
Agora, podemos pensar em cada uma dessas equações como funções independentes:
Como [tex3]g(x)=-x+4[/tex3] é uma função decrescente, quanto maior o valor de [tex3]x[/tex3] menor será o valor da função. Assim, para o intervalo [tex3][2,+ \infty [[/tex3] o valor máximo que g(x) assume é [tex3]g(x)=2[/tex3];
Já [tex3]h(x)=2[/tex3] é uma função constante. Assim para todo [tex3]x[/tex3] em [tex3]-1\leq x<2[/tex3], [tex3]h(x)=2[/tex3]. Logo, não há valor máximo nem mínimo.
Por fim, [tex3]w(x)=x+3[/tex3] é uma função crescente. Portanto, quanto menor for o valor de [tex3]x[/tex3], menor será o valor da função. Essa função se aproxima de 2 para x suficiente próximo de -1. Dizemos que o limite de [tex3]w(x)[/tex3] quando x tende a -1 é 2.
Juntando todas essas informações, concluímos que a imagem de f(x) será [tex3]f(x) \leq2[/tex3].
Espero ter ajudado.