Pré-Vestibular ⇒ (FEI-2015/1) Matriz Tópico resolvido

[jose carlos de almeida]

Seja a matriz [tex3]A=\left(\begin{array}{ccc}1&2&0\\3&1&4\\0&-1&2\end{array}\right)[/tex3] de ordem 3.
Se det(A.B)=12,então det(2B) é igual a:

a) -4
b) 4
c) 8
d) -8
e) -16

Resposta

---

e

[LucasPinafiMOD]

Boa Tarde José Carlos ((:
Para resolver esse problema, precisaremos de duas propriedades das matrizes:
(i) [tex3]\det(AB)= \det A.\det B[/tex3]
(ii) Se multiplicarmos uma matriz de ordem n, por uma constante k, então seu determinante ficará multiplicado por [tex3]k^n[/tex3].
Com isso em mente, podemos partir para a resolução:
Inicialmente, calculamos o determinante de A:
[tex3]\begin{vmatrix}1 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 4 \\ 0 & -1 & 2 \end{vmatrix} \begin{vmatrix}1 & 2 \\ 3 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix}=2+0+0-(12-4+0)=-6[/tex3]
Assim:
[tex3]\det (AB)= \det A. \det B=12 \Longleftrightarrow \det B=-\frac{12}{6}=-2[/tex3]
Assim:
[tex3]\det(2B)=2^3(-2)=-8.2=-16[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{\det (2B)=-16}}[/tex3]