Pré-Vestibular ⇒ (FEI-2015/1) Inequação Tópico resolvido

[jose carlos de almeida]

O conjunto solução da inequação [tex3]\left|1-\frac{x-1}{2}\right|\geq4[/tex3] é:

a) [tex3]\{x\in\mathbb{R} /-5<{x}<11\}[/tex3]
b) [tex3]\{x\in\mathbb{R}/x\geq-9\,\,e\,\,x\leq11\}[/tex3]
c) [tex3]\{x\in\mathbb{R}/x<9\,\,ou\,\,x<11\}[/tex3]
d) [tex3]\{x\in\mathbb{R}/-9<x<11\}[/tex3]
e) [tex3]\{x\in\mathbb{R}/x\leq-5\,\,ou\,\,x\geq11\}[/tex3]

Resposta

---

e

[LucasPinafiMOD]

Boa tarde (:
Para todo número real a, [tex3]|x| \geq a \Longleftrightarrow -a \geq x[/tex3] ou [tex3]x \geq a[/tex3]
Então:
[tex3]|1-\frac{x-1}{2}| \geq 4 \Longleftrightarrow 1-\frac{x-1}{2}\geq 4[/tex3] ou [tex3]1-\frac{x-1}{2}\leq-4[/tex3]
Agora, basta resolver essas inequações:
[tex3]-\frac{x-1}{2}\geq 3 \Rightarrow x-1 \leq -6 \Rightarrow x\leq -5[/tex3]
(não se esqueça que multiplicando a desigualdade por -1, o sentido da desigualdade muda!)
[tex3]1-\frac{x-1}{2}\leq -4 \Rightarrow \frac{x-1}{2} \geq 5 \Rightarrow x-1 \geq 10 \Rightarrow x \geq 11[/tex3]
Assim, o conjunto verdade da inequação é:
[tex3]\{x \in \mathbb{R}\ |\ x\leq -5[/tex3] ou [tex3]x \geq 11\}[/tex3]

[petrasMOD]

jose carlos de almeida,


\[
1 - \frac{x - 1}{2} = 1 - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}
\]

\[
= \frac{2}{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}
\]

\[
= \frac{3 - x}{2}
\]

Substituímos na inequação:

\[
\left| \frac{3 - x}{2} \right| \geq 4
\]


\[
|3 - x| \geq 8
\]


\[
|3 - x| \geq 8 \Rightarrow 3 - x \leq -8 \,\,\text{ou}\,\, 3 - x \geq 8
\]

[tex3]3 - x \leq -8 \Rightarrow -x \leq -11 \Rightarrow x \geq 11\\
3 - x \geq 8 \Rightarrow -x \geq 5 \Rightarrow x \leq -5[/tex3]

A solução é a união dos dois intervalos:

\[
x \leq -5 \,\,\text{ou}\,\, x \geq 11
\]


\[
\boxed{\text{e) } \{x \in \mathbb{R} \mid x \leq -5 \,\,\text{ou}\,\, x \geq 11\}}
\]