Pré-Vestibular ⇒ (CM-Salvador) Equação do 2° grau Tópico resolvido

[ALANSILVA]

A soma dos cubos das raízes da equação x²-3x+7=0 é :


(A) - 12
(B) - 27
(C) - 36
(D) - 42
(E) - 63

Resposta

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Letra : C

Esta questão ao meu ver está mal formulada, pois não encontrei raízes para a equação x²-3x+7=0, porém o gabarito diz letra C como resposta.

Aguardo respostas!

[Ittalo25MOD]

Olá,

Sendo a e b as raízes:

[tex3](a+b)^{3} -3.(a.b).(a+b) = a^3 + b^3[/tex3]

[tex3](3)^{3} -3.(7).(3) = a^3 + b^3[/tex3]

[tex3]- 36 = a^3 + b^3[/tex3]

[Auto Excluído (ID:12031)]

seja [tex3]\alpha[/tex3] uma raíz da equação: [tex3]x^2-3x+7=0[/tex3]
então
[tex3]\alpha^2-3\alpha+7=0[/tex3]
[tex3]\alpha^2 = 3\alpha - 7[/tex3]
[tex3]\alpha^3 = 3\alpha^2 - 7\alpha = 3(3\alpha - 7) - 7\alpha = 2\alpha -21[/tex3]

então:

[tex3]\alpha^3 + \beta^3 = 2(\alpha+\beta) -42[/tex3]
a soma das raízes é, pelas relações de Girard:
[tex3]\alpha+\beta = 3[/tex3]
logo
[tex3]\alpha^3 + \beta^3 = 6 -42 = -36[/tex3]
letra C

Sim! As raízes podem ser complexas, mas a soma delas e dos cubos delas vão ser esses reais ai

[ALANSILVA]

Fiz desse jeito:
[tex3]\alpha ^{3} + \beta ^{3}[/tex3]=([tex3]\alpha + \beta[/tex3]) ([tex3]\alpha ^{2} - \alpha \beta + \beta ^{2}[/tex3])

[tex3]\alpha ^{3} + \beta ^{3}[/tex3]=([tex3]\alpha + \beta[/tex3]) [([tex3]\alpha +\beta )^{2}[/tex3]-2 [tex3]\alpha \beta - \alpha \beta[/tex3]

[tex3]\alpha ^{3} + \beta ^{3}[/tex3]=3(9-2.7-7)
[tex3]\alpha ^{3} + \beta ^{3}[/tex3]=3(9-21)
[tex3]\alpha ^{3} + \beta ^{3}[/tex3]=-36