Ensino Superior ⇒ Equação Diferencial Exata Tópico resolvido

[lgantus]

Por favor, me ajudem.

Obter solução geral da eq. diferencia exata [tex3](3x^2y+2)dx+(x^3+y)dy=0[/tex3]
e preciso da particular sabendo que [tex3]y(0)=1[/tex3]

Obrigado amigos.

[candre]

Sendo
[tex3](3x^2y+2)dx+(x^3+y)dy=0[/tex3]
Temos
[tex3]M=3x^2y+2\Rightarrow M_y=3x^2\\
N=x^3+y\Rightarrow N_x=3x^2[/tex3]
como [tex3]M_y=N_x[/tex3] logo essa e uma equacao diferencial homogenea exata, logo temos que existe
[tex3]dF=Mdx+Ndy[/tex3]
e entao
[tex3]F=\int 3x^2y+2dx\\
=x^3y+2x+\mu(y)\\
F_y=x^3+\mu_y(y)\\
F_y=N\\
x^3+\mu_y(y)=x^3+y\\
\mu_y(y)=y\\
\mu(y)=\frac{y^2}{2}+k[/tex3]
logo temos
[tex3]F(x,y)=x^3y+2x+\frac{y^2}{2}+k[/tex3]
logo temos como sulucão
[tex3]x^3y+2x+\frac{y^2}{2}+k=p\\x^3y+2x+\frac{y^2}{2}=C[/tex3]
substituindo as condições iniciais [tex3]y(0)=1[/tex3]
[tex3]C=0^3\cdot1+2\cdot0+\frac{1^2}{2}=\frac{1}{2}[/tex3]
o que da como solucao
[tex3]x^3y+2x+\frac{y^2}{2}=\frac{1}{2}[/tex3]