Pré-Vestibular ⇒ (UERJ 2008) Progressão Geometrica Tópico resolvido

[lmarcondes]

Para analisar o crescimento de uma bactéria, foram inoculadas 1×[tex3]10^{3}[/tex3] células a um determinado volume de
meio de cultura apropriado. Em seguida, durante 10 horas, em intervalos de 1 hora, era medido o número
total de bactérias nessa cultura. Os resultados da pesquisa estão mostrados no gráfico abaixo.

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Nesse gráfico, o tempo 0 corresponde ao momento do inóculo bacteriano.
Observe que a quantidade de bactérias presentes no meio, medida a cada hora, segue uma progressão
geométrica até 5 horas, inclusive.
O número de bactérias encontrado no meio de cultura 3 horas após o inóculo, expresso em milhares, é igual a:
(A) 16
(B) 27
(C) 64
(D) 105

Resposta

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Resposta: B

[LucasPinafiMOD]

Olá.
Podemos modelar o crescimento da população de bactérias por meio da função [tex3]f(t)=f_0e^{kt}, t \in[0,5][/tex3] onde [tex3]f_0[/tex3] é a população inicial e t é medido em horas.
Sabemos que [tex3]f_0=1000[/tex3] e [tex3]f(5)=243000[/tex3]:
[tex3]243000=1000e^{5t} \rightarrow 243=e^{5t} \Rightarrow \ln 243=5k \Rightarrow k=\frac{\ln 243}{5}[/tex3]
Então
[tex3]f(t)=1000e^{\frac{\ln243}{5}t}[/tex3]
Quando t=3:
[tex3]f(3)=1000 e^{\ln 243^{\frac{5}{3}}}=1000(243)^{\frac{3}{5}}=1000(3)^3=27.1000[/tex3]
Isso significa que depois de três horas a população de bactérias será de 27000