(Olimpíada da China-98) Aritmética

Anonymous · 2015-01-09T08:59:17+00:00

(n(n+1))/(2) equiv 98mod(100)n(n+1) equiv 196mod(100) equiv 96 mod(100) devemos ter: n(n+1) = 96 + 100k resolvendo o bhaskara n = (√(400k+385)-1)/(2) basta…

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ALANSILVA Offline: Mensagens: 1600; Registrado em: 26 Jul 2013, 22:59; Localização: Rio de Janeiro-RJ; Agradeceu: 470 vezes; Agradeceram: 213 vezes

Jan 2015 09 06:59

(Olimpíada da China-98) Aritmética

Mensagempor ALANSILVA » 09 Jan 2015, 06:59

Mensagem por ALANSILVA » 09 Jan 2015, 06:59

Existe algum inteiro positivo N tal que o número formado pelos últimos dois dígitos da soma 1+2+3+...+N=...98?

No meio da dificuldade se encontra a oportunidade (Albert Einstein)

ALANSILVA

Auto Excluído (ID:12031)

Jan 2015 09 09:45

Re: (Olimpíada da China-98) Aritmética

Mensagempor Auto Excluído (ID:12031) » 09 Jan 2015, 09:45

Mensagem por Auto Excluído (ID:12031) » 09 Jan 2015, 09:45

[tex3]\frac{n(n+1)}{2} \equiv 98\mod(100)[/tex3]
[tex3]n(n+1) \equiv 196\mod(100) \equiv 96 \mod(100)[/tex3]
devemos ter:

[tex3]n(n+1) = 96 + 100k[/tex3]

resolvendo o bhaskara

[tex3]n = \frac{\sqrt{400k+385}-1}{2}[/tex3]

basta existir algum [tex3]k[/tex3] inteiro positivo tal que [tex3]400k + 385[/tex3] seja quadrado perfeito.
É fácil ver que esse número é divisível por 5:
[tex3]x^2 = 400k + 385[/tex3]
[tex3]x = 5y[/tex3]
[tex3]25y^2 = 400k + 385[/tex3]
[tex3]5y^2 = 80k + 77[/tex3]

absurdo, pois o lado direito representa um número terminado em 7, logo não é divisível por 5.
Então não existe um inteiro N satisfazendo a condição exigida pelo enunciado.

Editado pela última vez por Auto Excluído (ID:12031) em 09 Jan 2015, 09:45, em um total de 1 vez.

Auto Excluído (ID:12031)

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por jreis » 21 Nov 2009, 23:25 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

jreis

Se x e y são números reais que satisfazem a equação.
[tex3](x+2)^2 + (y-12)^2=14^2[/tex3], então o valor minimo de [tex3]x^2+y^2[/tex3] é igual a:

Resposta 1

Desde já agradeço
jreis

Últ. msg

triplebig

O problema é uma circunferência de centro (-2,12) e raio 14, e ele quer saber o ponto mais próximo da origem. Ainda não tentei, mas veja se isso ajuda.
jreis1triplebig1: 1 Resp.; 891 Exibições; Últ. msg por triplebig
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por theblackmamba » 03 Fev 2012, 15:09 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

theblackmamba

Se [tex3]x \,\in\,\[-\frac{5\pi}{12},\,-\frac{\pi}{3}\][/tex3]. Calcule o valor mínimo da expressão:

[tex3]tg\(x + \frac{2\pi}{3}\) - tg\(x + \frac{\pi}{6}\) + cos\,\(x + \frac{\pi}{6}\)[/tex3]

Últ. msg

Tassandro

theblackmamba,
Faça [tex3]z=-x-\fracπ6
[/tex3]
Daí, [tex3]z\in\bigg[\fracπ6;\fracπ4\bigg],2z\in\bigg[\fracπ3;\fracπ2\bigg][/tex3]
Assim, [tex3]\tg\(x+\frac{2π}3\)=-\cot\(x+\fracπ6\)=\cot z[/tex3]
Seja y a expressão dada. Assim,
y=\cot z+\tan...
FelipeMartin1Tassandro1theblackmamba1: 2 Resp.; 949 Exibições; Últ. msg por Tassandro
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por Ardovino » 05 Dez 2014, 12:57 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

Ardovino

Se a e b sao numeros complexos conjugados, tal que [tex3]\frac{a}{b^2}[/tex3] é um numero real e [tex3]|a-b|=2\sqrt{3}[/tex3]

Então o valor de |a| é igual a:

a)1
b)2
c)3
d)4
e)5

Eu estou chegando a resultados contraditórios

Últ. msg

mateusITA

Seja [tex3]a=x+yi[/tex3], [tex3]b=x-yi[/tex3]:

[tex3]|a-b|=|(x+yi)-(x-yi)|=\sqrt{4y^{2}}=2\sqrt{3}[/tex3]
[tex3]y^{2}=3[/tex3]

[tex3]\frac{a}{b^2}=\frac{x+yi}{(x-yi)^2}=\frac{x+yi}{(x^2-y^{2})-2xyi}[/tex3]

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(China) Funções

Últ. msg por Anonymous « 04 Fev 2015, 14:43
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por gabrielifce » 04 Fev 2015, 13:17 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

gabrielifce

A função f é definida sobre o conjunto dos números reais satisfazendo f(1)=1. Além disso, f(x+5)[tex3]\geq f(x)+5[/tex3] e f(x+1)[tex3]\leq f(x) +1[/tex3], para todo x [tex3]\in \mathbb{R}[/tex3]. Sendo g(x)=f(x)+1-x, para todo x [tex3]\in \mathbb{R}[/tex3], determine g(2009)
resp.:1

Últ. msg

Anonymous

[tex3]g(x+5) = f(x+5) +1 - (x+5) \geq f(x) + 5 + 1 -x -5 = g(x)[/tex3]
[tex3]g(x+5) \geq g(x)[/tex3]

[tex3]g(x+1) = f(x+1) + 1 - (x+1) \leq f(x) + 1 -x = g(x)[/tex3]
[tex3]g(x+1) \leq g(x)[/tex3]

parece que dá pra mostrar que [tex3]g[/tex3] tem...
gabrielifce1Auto Excluído (ID:12031)1: 1 Resp.; 1034 Exibições; Últ. msg por Anonymous
04 Fev 2015, 14:43

(China) Funções

Últ. msg por csmarcelo « 26 Mar 2015, 14:03
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por gabrielifce » 26 Mar 2015, 13:29 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

gabrielifce

Seja f uma função estritamente decrescente definida sobre [tex3](0,\,+\infty)[/tex3]. Encontre todos os valores de a satisfazendo [tex3]f (2a^{2}+a+1)<f (3a^{2}-4a+1)[/tex3].

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csmarcelo

Olá, Gabriel.

Se a função é estritamente decrescente no intervalo dado e [tex3]f(2a^2+a+1)<f(3a^2-4a+1)[/tex3], então

1) [tex3]2a^2+a+1>3a^2-4a+1[/tex3]

Além disso,

Como o intervalo envolve apenas números reais positivos, devemos ter

2) [tex3...
csmarcelo1gabrielifce1: 1 Resp.; 1110 Exibições; Últ. msg por csmarcelo
26 Mar 2015, 14:03

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