Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST) Geometria Plana: Semelhança de Triângulos

[raquell]

Um triângulo [tex3]ABC[/tex3] é retangulo em [tex3]A,[/tex3] [tex3]ADEF[/tex3] é um quadrado inscrito nesse triângulo (o vértice do quadrado toca o lado [tex3]BC[/tex3])
[tex3]\bar{AB}= 1[/tex3] e [tex3]\bar{AC}= 3.[/tex3] Quanto mede o lado do quadrado?


me ajudem por favor

[mawapa]

Olá raquell

Desenhando o problema e colocando os dados chegamos a essa figura:

Semelhança.png (19.09 KiB) Exibido 4651 vezes

note que temos [tex3]2[/tex3] triângulos menores e [tex3]1[/tex3] quadrado, vamos calcular a área de cada um

o triângulo de cima, área [tex3]= \frac{b \times h}{2}[/tex3]

[tex3]A_1 = \frac{(1-x).x}{2}[/tex3]

agora a área do quadrado

[tex3]A_2 = x.x = x^2[/tex3]

agora a área do triângulo da direita

[tex3]A_3 = \frac{(x-3).x}{2}[/tex3]

Agora a área do triângulo maior

[tex3]A_t = \frac{3}{2}[/tex3]

Agora se somarmos essas 3 áres será igual a área do triângulo maior, então ficamos

[tex3]A_t = A_1 + A_2 + A_3[/tex3]

[tex3]3 = (1-x).x + 2.x^2 + (3-x).x[/tex3]

[tex3]3 = x - x^2 + 2.x^2 + 3x - x^2[/tex3]

[tex3]x = \frac{3}{4}[/tex3]

esse é o lado do quadrado.

Acho que é isso qualquer problema ou parte que não ficou clara me avise.
T+