Ensino Médio ⇒ Geometria Plana: Quadrilátero Inscritível Tópico resolvido

[marco_sx]

[tex3]ABCD[/tex3] é um quadrilátero convexo no qual [tex3]\hat{A}=105^\circ, \hat{B}=60^\circ,[/tex3] [tex3]\hat{D}=120^\circ[/tex3] e cuja diagonal [tex3]\bar{AC}=12\text{cm}.[/tex3] Calcular a diagonal [tex3]BD.[/tex3]

Quando estava resolvendo esta questão caí em um sistema de 5 equações e 5 incógnitas mas está muito difícil de resolvê-lo. Acredito que deve haver uma maneira mais fácil. Agradeço qualquer ajuda.

[cajuADMIN]

Olá marco_sx,

Veja que os ângulos opostos D e B são suplementares (somam 180°), ou seja, o quadrilátero é inscritível.

Com esta propriedade podemos concluir que o círculo circunscrito ao triângulo ABC é o mesmo do círculo circunscrito ao triângulo ABD.

Lembrando da Lei dos Senos, que diz:

[tex3]\frac{a}{\sen(A)}=\frac{b}{\sen(B)}=\frac{c}{\sen(C)}=2R[/tex3]

Onde R é o raio do círculo circunscrito.
Aplicando esta lei no triângulo ABC, com relação ao ângulo B, temos:

[tex3]\frac{12}{\sen(60^{\circ})}=2R[/tex3]

Sabendo que [tex3]\sen(60^{\circ})=\frac{\sqrt 3}{2}[/tex3], substituímos e encontramos:

[tex3]R=4\sqrt 3[/tex3]

Agora aplicamos a lei dos senos no triângulo ABD, com BD tendo comprimento X.

[tex3]\frac{X}{\sen(105^{\circ})}=2R[/tex3]

[tex3]\frac{X}{\sen(60^{\circ}+45^{\circ})}=2\cdot 4\sqrt 3[/tex3]

[tex3]X=8\sqrt 3 \cdot [\sen(60^{\circ})\cos(45^{\circ})+\sen(60^{\circ})\cos(45^{\circ})][/tex3]

Substituindo os valores trigonométricos e resolvendo, chegamos em:

[tex3]X=2\sqrt 6(1+\sqrt 3)[/tex3]

[marco_sx]

Olá
Tentei resolver por lei dos cossenos e teorema de Ptolomeu chegando no sistema que disse. Até cheguei a calcular o raio mas por falta de atenção não pensei em aplicar lei dos senos de novo.
Obrigado Prof. Caju, não tenho a resposta mas acredito que seja essa mesmo.