Ensino Superior ⇒ Limite pela definição Tópico resolvido

[Auto Excluído (ID:12031)]

tome a sequência [tex3]a_n = \sqrt[n]a[/tex3], em que [tex3]a>1[/tex3] é uma constante real. Mostre, usando a definição, que [tex3]\lim_{n\rightarrow \infty }a_n = 1[/tex3]

usando a definição

[jedi]

[tex3]\lim_{n\to\infty}=a_n[/tex3]

[tex3]\lim_{n\to\infty}=\sqrt[n]{a}[/tex3]

[tex3]\lim_{n\to\infty}=a^{\frac{1}{n}}=a^{\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}}=a^0=1[/tex3]

espero ter ajudado

[candre]

seja [tex3]a_n=\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}[/tex3] sendo [tex3]a\in\mathbb{R},a>1,n\in\mathbb{N}^*[/tex3]
para todo [tex3]n\in\mathbb{N}^*,n+1>n\iff\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}[/tex3], sendo [tex3]a\in\mathbb{R},a>1[/tex3], temos que [tex3]a_{n+1}=a^{\frac{1}{n+1}}<a^{\frac{1}{n}}=a_{n}[/tex3], tendo [tex3]a_{n+1}<a_{n}[/tex3], sendo que [tex3]\frac{1}{n+1}>0,a^{\frac{1}{n+1}}>a^0=1[/tex3].
pela definição de limite, temos que [tex3]\lim_{n\to+\infty}a_n=L[/tex3] se temos que [tex3]\forall \epsilon>0,\exists N,n>N,|a_n-L|<\epsilon[/tex3], nesse caso, como mostramos a sequencia e decrescente e ao mesmo tempo maior que [tex3]1[/tex3], pois para [tex3]n\in\mathbb{N}^*[/tex3], tem se que [tex3]1<a_{n+1}<a_n[/tex3] logo dado [tex3]\epsilon>0[/tex3] basta escolher [tex3]N=\frac{1}{\log_a(\epsilon+1)}[/tex3] de forma que para todo
[tex3]n>N,1<a^{\frac{1}{n}}<a^{\frac{1}{N}}\Rightarrow 0<a^{\frac{1}{n}}-1<a^{\frac{1}{N}}-1\Rightarrow|a^{\frac{1}{n}}-1|<|a^{\frac{1}{N}}-1|=|a^{\log_a(\epsilon+1)}-1|=|\epsilon+1-1|=|\epsilon|=\epsilon\Rightarrow |a^{\frac{1}{n}}-1|<\epsilon[/tex3],
portanto a sequencia [tex3]a_n[/tex3] converge para [tex3]1[/tex3], tendo [tex3]\lim_{n\to+\infty}a_n=1[/tex3]

[Auto Excluído (ID:12031)]

ótimo como sempre, candre. Muito obrigado.