IME / ITA ⇒ (IME - 1968) Geometria Plana: Triângulos Tópico resolvido

[alinebotelho]

Dado um triângulo isósceles, cujos lados são números inteiros de metros, sabe-se
que os raios dos círculos ex-inscritos têm um produto 16 vezes o raio do círculo inscrito. Determinar os lados do triângulo.
a) 3, 3, 2
b) 3, 3, 4
c) 3, 2, 2
d) 3, 3, 3

[marco_sx]

Olá Aline.

Resolvendo:
A área S do triângulo pode ser expressa das seguintes formas:
[tex3]S=p\cdot r[/tex3] , onde p é o semi-perímetro do triângulo e r é o raio da circunferência inscrita.
[tex3]S=\sqrt{r_a\cdot r_b\cdot r_c\cdot r}[/tex3], onde onde os raios com índice são os raios das circunferências exinscritas.

Igualando as duas e substituindo os dados: [tex3]p\cdot r=\sqrt{16\cdot r\cdot r}=4\cdot r \Rightarrow p=4 \Rightarrow 2p=8[/tex3]

Portanto, temos que o único triângulo isósceles de perímetro 8, cujos lados são números inteiros é o triângulo de lados 3,3,2.

Alternativa A

Para demonstrar a segunda fórmula você deve ter na manga algumas outras fórmulas ou então deduzir todas as fórmulas na hora (como se trata de um teste acho isso um pouco difícil hehe). Certamente a intenção do autor da questão era que você já soubesse as fórmulas que vou colocar abaixo para chegar na mencionada acima (só por curiosidade, essa questão foi tirada de onde?).

[tex3]S=p\cdot r[/tex3] , [tex3]S=r_a\cdot (p-a)[/tex3] , [tex3]S=r_b\cdot (p-b)[/tex3] , [tex3]S=r_c\cdot (p-c)[/tex3] , [tex3]S=\sqrt{p\cdot (p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c)}[/tex3]

[tex3]r_a\cdot r_b\cdot r_c\cdot r=\frac{S}{p-a}\cdot \frac{S}{p-b}\cdot \frac{S}{p-c}\cdot \frac{S}{p}=\frac{S^4}{p\cdot (p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c)}=\frac{S^4}{S^2}=S^2[/tex3]

Portanto: [tex3]S=\sqrt{r_a\cdot r_b\cdot r_c\cdot r}[/tex3]

Um abraço,
Marco.