Pré-Vestibular ⇒ (UFC)Números Complexos Tópico resolvido

[kiritoITA]

Considere o número complexo [tex3]z = (1 + i)(\sqrt{3} - i)[/tex3]. Assinale a opção na qual consta o menor inteiro positivo [tex3]n[/tex3] , tal que [tex3]z^{n}[/tex3] seja um número real positivo.

a) 6
b) 12
c) 18
d) 24
e) 30

Resposta

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d

[LucasPinafiMOD]

Seja [tex3]w=1+i[/tex3] e [tex3]x=\sqrt{3}-i[/tex3].
[tex3]w=\sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4})[/tex3]
[tex3]x=2(\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3})[/tex3]
[tex3]\arg(z)=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}=\frac{7\pi}{12}[/tex3]
[tex3]n\frac{7\pi}{12}=2\pi+2k\pi \rightarrow n\frac{7\pi}{12}=\pi(2+2k)[/tex3]
Devemos ter k=6;
[tex3]n\frac{7\pi}{12}=14\pi \Rightarrow \boxed{\boxed{n=24}}[/tex3]