Pré-Vestibular ⇒ (UFV)Números Complexos Tópico resolvido

[kiritoITA]

Determine o número complexo [tex3]Z[/tex3] que satisfaça às igualdades:
[tex3]\frac{|z-4|}{|z-8|}=1[/tex3] e [tex3]\frac{|z-12|}{|z-8i|}=\frac{5}{3}[/tex3]

Resposta

---

[tex3]z_{1}=6 +8i[/tex3] e [tex3]z_{2}=6+17i[/tex3]

[LucasPinafiMOD]

[tex3]z=a+bi[/tex3]
[tex3]|z-4|=|z-8| \rightarrow |(a-4)+bi|=|(a-8)+bi|[/tex3]
[tex3](a-4)^2+b^2=(a-8)^2+b^2 \rightarrow (a-4)^2=(a-8)^2 \rightarrow a-4=\pm (a-8)[/tex3]
[tex3]\Leftrightarrow \boxed{\boxed{a=6}}[/tex3]
[tex3]3|6+bi-12|=5|6+i(b-8)| \rightarrow 9((-6^2)+b^2)=25(36+(b-8)^2)[/tex3]
Resolvendo, teremos:
[tex3]b^2-25b+136=0[/tex3]
cujas raízes são [tex3]b=8, b=17[/tex3]
[tex3]z_1=6+8i, z_2=6+17i[/tex3]