Ensino Superior ⇒ Cálculo - Equação Diferencial. Tópico resolvido

[Luigi]

Cálcule a solução geral da equação diferencial linear dada. Indique o maior intervalo no qual a solução geral é definida.

[tex3]cosx\frac{dy}{dx}+(senx)y=1[/tex3]

[LucasPinafiMOD]

[tex3]\cos x \frac{dy}{dx}+ y \sin x=1[/tex3]
[tex3]\frac{dy}{dx}+y \tan x= \sec x[/tex3]
[tex3][\frac{dy}{dx}+ y\tan x]e^{\int \tan xdx}= e^{\int \tan x dx}\sec x[/tex3]
Temos que calcular [tex3]\int \tan x dx =\int \frac{\sin x}{\cos x}dx[/tex3]. Para tal, fazemos [tex3]u=\cos x[/tex3], e ficamos com [tex3]du = -\sin xdx[/tex3]
[tex3]\int \frac{\sin x}{\cos x}dx =- \int \frac{1}{\cos x}(-\sin x dx)=- \int \frac{1}{u}du =-\ln |u|[/tex3]
[tex3]\int \tan x \ dx=-\ln |\cos x| =\ln |\sec x|[/tex3]
Então:
[tex3]\frac{d}{dx}[y\sec x]= \sec^2 x dx \rightarrow d[y \sec x] = \sec^2 x \ dx[/tex3]
[tex3]\int d[y \sec x] = \int \sec^2 x \ dx \rightarrow y \sec x= \tan x+k[/tex3]
[tex3]y = \frac{\cos x \sin x}{\cos x}+ k \cos x \rightarrow y= \sin x + k \cos x[/tex3]

[Luigi]

Obrigado, LucasPinafi.