Olimpíadas ⇒ (China) Funções Tópico resolvido

[gabrielifce]

A função f é definida sobre o conjunto dos números reais satisfazendo f(1)=1. Além disso, f(x+5)[tex3]\geq f(x)+5[/tex3] e f(x+1)[tex3]\leq f(x) +1[/tex3], para todo x [tex3]\in \mathbb{R}[/tex3]. Sendo g(x)=f(x)+1-x, para todo x [tex3]\in \mathbb{R}[/tex3], determine g(2009)
resp.:1

[Auto Excluído (ID:12031)]

[tex3]g(x+5) = f(x+5) +1 - (x+5) \geq f(x) + 5 + 1 -x -5 = g(x)[/tex3]
[tex3]g(x+5) \geq g(x)[/tex3]

[tex3]g(x+1) = f(x+1) + 1 - (x+1) \leq f(x) + 1 -x = g(x)[/tex3]
[tex3]g(x+1) \leq g(x)[/tex3]

parece que dá pra mostrar que [tex3]g[/tex3] tem que ser constante, dai é só ver que
[tex3]g(1) = 1 + 1 - 1 = 1[/tex3] e então todo [tex3]g[/tex3] terá de ser 1
veja que:
[tex3]g(0) \geq g(1) \geq g(2) \geq g(3) \geq g(4) \geq g(5) \geq g(0)[/tex3]
logo
[tex3]g(0) \geq g(5) \geq g(0)[/tex3]
logo [tex3]g(5) = g(0)[/tex3]
é fácil ver que você pode estender isso a qualquer P.A de razão [tex3]5[/tex3]
[tex3]g(0) = g(5) = g(10) = ... = g(5n) = ...[/tex3]
[tex3]g(1) = g(6) = g(11) = ... = g(5n+1) = ...[/tex3]
você pode ver também que
[tex3]g(1) \geq g(5) \geq g(6) = g(1) \rightarrow g(5) = g(1)[/tex3]
então você pode sim concluir que para todo número natural [tex3]g(n) =1[/tex3]
pra esse exercício é só até ai que vc precisa chegar.