Pré-Vestibular ⇒ (UFPR) Equações Polinomiais

[Natan]

Calcule o valor de [tex3]\log\(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\),[/tex3] sendo [tex3]a,b,c[/tex3] as raízes da equação [tex3]2x^3-30x^2+15x-3=0[/tex3]

a) [tex3]{-}1[/tex3]
b) [tex3]0[/tex3]
c) [tex3]1[/tex3]
d) [tex3]2[/tex3]
e) [tex3]{-}2[/tex3]

[triplebig]

Ola natan,

temos que:

• [tex3]a\,+\,b\,+\,c\,=\,15[/tex3]
  
  [tex3]ab\,+\,bc\,+\,ac\,=\,\frac{15}{2}[/tex3]
  
  [tex3]abc\,=\,\frac{3}{2}[/tex3]

• [tex3]\log\left(\frac{1}{ab}\,+\,\frac{1}{bc}\,+\,\frac{1}{ac}\right) =\log\left(\frac{ac\,(bc\,+\,ab)\,+\,ab^2c}{(abc)^2}\right) =[/tex3]

• [tex3]\log\left(\frac{abc^2\,+\,a^2bc\,+\,ab^2c}{\(\frac{3}{2}\)^2}\right) =\log\left(\frac{\frac{3}{2}c\,+\,\frac{3}{2}a\,+\,\frac{3}{2}b}{\frac{9}{4}}\right) =[/tex3]

• [tex3]\log\left(\frac{\frac{3}{2}(15)\,.4}{9}\right)= \log\,10= 1[/tex3]

Letra (c).

[Natan]

Faça um detalhamento dos cáculos nas três primeiras linhas por favor.

[triplebig]

Tirei o mmc.

• [tex3]\frac{1}{a}\,+\,\frac{1}{b}\,=\,\frac{b\,+\,a}{ab}[/tex3]

Ai faz a mesma coisa com a próxima fração:

• [tex3]\frac{b\,+\,a}{ab}\,+\,\frac{1}{c}\,=\,\frac{c\,(b\,+\,a)\,+\,ab}{abc}[/tex3]

• [tex3]abc^2\,=\,abc.c\,=\,\frac{3}{2}c[/tex3]

Isso é feito analogamente pros outros valores.