Pré-Vestibular ⇒ (Instituto de Tecnologia de Illinois) Números Complexos Tópico resolvido

[Ittalo25MOD]

Sejam [tex3]x=e^{i\alpha },y = e^{i\theta}[/tex3] e [tex3]z=e^{i \beta }[/tex3] e [tex3]x+y+z = 0[/tex3] então qual das alternativas a seguir não é correta:

a) [tex3]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0[/tex3]

b) [tex3]xy+yz+zx=0[/tex3]

c) [tex3]x^2+y^2+z^2=1[/tex3]

d) [tex3]x^3+y^3+z^3=3xyz[/tex3]

Resposta

---

C)

[Vinisth]

Olá Ittalo25,

Fiquei um tempo pensando neste problema, aí vai ...
[tex3]e^{i\alpha}+e^{i\beta}+e^{i\theta}=0[/tex3]
[tex3]1+e^{i\beta-i\alpha}+e^{i\theta-i\alpha}=0[/tex3]
Pegando a parte imaginária, temos,
[tex3]\begin{cases}
\cos (\beta - \alpha) +\cos (\theta - \alpha)=-1 \ (I) \\
\sin (\beta - \alpha)+\sin (\theta - \alpha)=0 \ (II)
\end{cases}[/tex3]
De (II) vem
[tex3]\beta - \alpha=-\theta + \alpha \ \ ou\ \ \beta - \alpha= \pi+\theta - \alpha[/tex3]
Se [tex3]\beta - \alpha= \pi+\theta - \alpha[/tex3], em (I) implica [tex3]0=-1[/tex3], logo
[tex3]\boxed{\beta - \alpha=-\theta + \alpha}[/tex3] é solução
E de (II) temos,
[tex3]\cos (\theta - \alpha)=-\frac{1}{2} \implies \theta - \alpha=\pm\frac{2\pi}{3}+2k\pi, \ \ k \in \mathbb{Z}[/tex3]
Quando [tex3]k =0 \implies \theta - \alpha=\pm\frac{2\pi}{3}[/tex3]

[tex3]1+e^{2i\beta-2i\alpha}+e^{2i\theta-2i\alpha}=0 \iff e^{2i\alpha}+e^{2i\beta}+e^{2i\theta}=0[/tex3]
O resto é trivial, pois
[tex3]e^{2i\alpha}+e^{2i\beta}+e^{2i\theta}=(\underbrace{e^{i\alpha}+e^{i\beta}+e^{i\theta}}_{0})^2-2(e^{i\alpha}e^{i\beta}+e^{i\theta}e^{i\beta}+e^{i\alpha}e^{i\theta})=[/tex3]
[tex3]=-2e^{i\alpha+i\beta+i\theta}\left(\frac{1}{e^{i\alpha}}+\frac{1}{e^{i\beta}}+\frac{1}{e^{i\theta}}\right)=0[/tex3]

[tex3]e^{2i\alpha}+e^{2i\beta}+e^{2i\theta}\neq 1[/tex3]

d) Verdadeira.
Todas as somas das colunas e linhas resultam em 0, logo o determinante vale 0.
[tex3]\begin{vmatrix}
e^{i\alpha} & e^{i\beta} & e^{i\theta}\\
e^{i\beta} & e^{i\theta} & e^{i\alpha}\\
e^{i\theta} & e^{i\alpha} & e^{i\beta}
\end{vmatrix}=0[/tex3]
[tex3]\boxed{e^{3i\alpha}+e^{3i\beta}+e^{3i\theta}-3e^{i\alpha}e^{i\beta}e^{i\theta}=0}[/tex3]
Abraço !