Pré-Vestibular ⇒ (Instituto de Tecnologia de Illinois) Somatório do seno Tópico resolvido

[Ittalo25MOD]

Seja [tex3]z = cos\theta +isin\theta[/tex3], então o valor do somatório [tex3]\sum_{r=1}^{15}Im(z^{2r-1})[/tex3] para [tex3]\theta=2^o[/tex3] é igual a:

a) [tex3]\frac{1}{sin2^o}[/tex3]

b) [tex3]\frac{1}{3sin2^o}[/tex3]

c) [tex3]\frac{1}{2sin2^o}[/tex3]

d) [tex3]\frac{1}{4sin2^o}[/tex3]

Resposta

---

d)

[Vinisth]

Olá Ittalo25,

[tex3]x= \sum_{r=1}^{15}Im(z^{2r-1})= \sin \theta + \sin 3 \theta + \cdots + \sin 29 \theta[/tex3]
Multiplica-se por [tex3](2 \sin \theta)[/tex3] ambos lados e usa as Relações de Prostaféreses,
[tex3]\small (2 \sin \theta \cdot) x= 1- \cos 2 \theta + \cos 2\theta-\cos 4 \theta + \cos 4\theta-\cos 6 \theta + \cdots +\cos 28 \theta-\cos 30 \theta[/tex3]
[tex3]x=\frac{1-\cos 30 \theta}{2 \sin \theta}[/tex3]

Faça [tex3]\theta = 2^o[/tex3], vem
[tex3]x= \frac{1}{4 \sin 2^o}[/tex3]

Abraço !