Pré-Vestibular ⇒ (Fuvest 2015 - Modificado) Trigonometria Tópico resolvido

[Nikolaw]

Calcule o sen [tex3]\left(\frac{3\pi }{8}\right)[/tex3] e o cos [tex3]\left(\frac{3\pi }{8}\right)[/tex3]

[LucasPinafiMOD]

Olá,
Veja que [tex3]\frac{3\pi}{8}= \frac{1}{2} \frac{3\pi}{4}[/tex3]
Conhecemos bem o valor de [tex3]\sin \frac{3\pi}{4}[/tex3] e [tex3]\cos \frac{3\pi}{4}[/tex3] que valem, respectivamente, [tex3]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3] e [tex3]-\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]
Assim, seja [tex3]\theta = \frac{3\pi}{8}[/tex3]
Logo, [tex3]\frac{3\pi}{4}= 2\theta[/tex3]
[tex3]\sin(2\theta) = 2\cos^2 \theta -1 \rightarrow -\frac{\sqrt{2}}{2}+1=2 \cos^2 \theta[/tex3]
[tex3]\cos^2 \theta = \frac{2-\sqrt{2}}{4}[/tex3]
Como [tex3]\theta[/tex3] está no primeiro quadrante;
[tex3]\cos \theta = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}[/tex3]
Da relação fundamental, temos:
[tex3]\frac{2-\sqrt{2}}{4}+ \sin^2 \theta =1 \rightarrow \sin^2 \theta = \frac{2+\sqrt{2}}{4}[/tex3]
[tex3]\sin \theta = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}[/tex3]