Pré-Vestibular ⇒ (UFMG) Conjuntos Numéricos: Dízima Periódica Tópico resolvido

[danjr5]

Considere [tex3]x, y[/tex3] e [tex3]z[/tex3] números naturais. Na divisão [tex3]x[/tex3] por [tex3]y,[/tex3] obtém-se quociente [tex3]z[/tex3] e resto [tex3]8.[/tex3] Sabe-se que a representação decimal [tex3]\frac{x}{y}[/tex3] é a dizima periódica [tex3]7,363636...[/tex3] Então, o valor de [tex3]x + y + z[/tex3] é:

a) [tex3]190[/tex3]
b) [tex3]193[/tex3]
c) [tex3]191[/tex3]
d) [tex3]192[/tex3]

[mawapa]

De acordo com o enunciado, temos

• [tex3]\frac{x}{y}=z+\frac{8}{y}\Longleftrightarrow x=yz+8,\text{ onde } x,y,z\in\mathbb{N}^*.[/tex3]

• [tex3]\frac{x}{y}=7,3636\ldots =7+0,3636\ldots=7+\frac{36}{99}=7+\frac{4}{11}.[/tex3]

Logo,

• [tex3]z=7 \text{ e } \frac{8}{y}=\frac{4}{11}\Longrightarrow\frac{8}{y}=\frac{2\cdot 4}{2\cdot 11}\Longrightarrow y=22.[/tex3]

Donde

• [tex3]x=22\cdot 7+8=162.[/tex3]

Portanto,

• [tex3]x+y+z=162+22+8=192.[/tex3]

[alineMOD]

Como é que fica se a dízima for [tex3]2,3454545\ldots ?[/tex3]
bjs

[mawapa]

Oi Aline!

• [tex3]\begin{array}{rl}
  2 + 0,3 + 0,04545\ldots &= 2 + \frac{3}{10} + \frac{1}{10}\cdot 0,4545\ldots \\
  &=2 + \frac{3}{10} + \frac{1}{10}\cdot\frac{45}{99} \\
  & =2 + \frac{3}{10} + \frac{1}{22}\\
  &=\frac{258}{110} \\
  &=\frac{129}{55}
  \end{array}[/tex3]

[alineMOD]

Mawapa, muito legal sua resolução.

bjins