Ensino Médio ⇒ Geometria Plana: Área de um Triângulo Retângulo

[rean]

Seja [tex3]G[/tex3] o ponto de concurso das medianas do triângulo [tex3]ABC,[/tex3] retângulo em [tex3]A.[/tex3]
Por [tex3]G[/tex3] traçam-se paralelas aos lados [tex3]AC[/tex3] e [tex3]AB.[/tex3] Estas paralelas cortam a hipotenusa em [tex3]M[/tex3] e [tex3]N.[/tex3] Sabendo que [tex3]\overline{AB}\,=\,5a[/tex3] e [tex3]\overline{BC}\,=\,13a,[/tex3] determine a área do triângulo [tex3]GMN[/tex3] em função de [tex3]a.[/tex3]

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[Karl Weierstrass]

Seja [tex3]P[/tex3] o ponto de interseção da mediana [tex3]AG[/tex3] com a hipotenusa [tex3]BC.[/tex3]

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Os triângulos [tex3]ABC[/tex3] e [tex3]GMN[/tex3] são semelhantes por [tex3]AAA.[/tex3]

Logo, sabendo que que a mediana relativa à hipotenusa é metade da hipotenusa, segue que

[tex3]\hspace{70pt}\overline{MN}\,=\,2\,\cdot\,\overline{GP}\,=\,2\,\cdot\, \frac{\overline{AP}}{3} \,=\, \frac{2}{3} \,\cdot\, \frac{\overline{BC}}{2} \,=\, \frac{\overline{BC}}{3} .[/tex3]

Pelo teorema de Pitágoras, [tex3]\overline{AC}\,=\,12a.[/tex3] Logo, [tex3][ABC]\,=\,30a^2,[/tex3] e, portanto,

[tex3]\hspace{70pt} \frac{[GMN]}{[ABC]} \, =\,\left( \frac{\overline{MN}}{\overline{BC}} \right)^2\,\Longrightarrow\,[GMN]\,=\, \frac{10a^2}{3} .[/tex3]