Olimpíadas ⇒ (Irlanda-1999) Teoria dos números

[Auto Excluído (ID:12031)]

Determine todos os inteiros positivos m tais que a quarta potência do número de seus divisores positivos é igual a m.

O que eu fiz:

[tex3]m = p_1^{4\alpha_1}p_2^{4\alpha_2}...p_n^{4\alpha_n} = (1+4\alpha_1)^4(1+4\alpha_2)^4...(1+4\alpha_n)^4[/tex3]
[tex3]p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}...p_n^{\alpha_n} = (1+4\alpha_1)(1+4\alpha_2)...(1+4\alpha_n)[/tex3]

Não sei como proceder aqui.

Se [tex3]m[/tex3] só tiver um fator primo...
[tex3]p_1^{\alpha_1} = (1+4\alpha_1)[/tex3]
como [tex3]p_1 \geq 2[/tex3]
[tex3]p_1^{\alpha} > (1 + 4\alpha)[/tex3]
se
[tex3]\alpha > 4[/tex3]
logo
[tex3]\alpha = \{1,2,3,4\}[/tex3]
[tex3]\alpha = 1 \rightarrow p=5[/tex3]
[tex3]\alpha = 2 \rightarrow p=3[/tex3]
então dois números são [tex3]m = 5^4[/tex3] e [tex3]m = 3^8[/tex3]

E se ele tivesse dois fatores primos ?

[candre]

Acho que seria assim pra iniciar
Sendo [tex3]m[/tex3] inteiro positivo podemos escrever
[tex3]m=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots[/tex3]
Pelo principio combinatorio chegamos que o numero de divisores positivos de m e
[tex3]N=(1+\alpha_1)(1+\alpha_2)\cdots[/tex3]
Sendo que a quarta potencia do numeros de divisores de m e igual a m temos que resolver
[tex3]p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots=(1+\alpha_1)^4(1+\alpha_2)^4\cdots[/tex3]
Mais a partir dai nao faco ideia de como proseguir.

[Cássio]

Uma coisa que pode ser observada é que m não pode ter somente fatores primos maiores que 5, já que [tex3]7^{\alpha}>1+4\alpha[/tex3].

[Auto Excluído (ID:12031)]

ele não pode ter todos os fatores primos maiores do que 7, porém acho que ele pode ter um fator primo maior que sete, outro menor que sete e o produto dos dois da [tex3]1 + 4\alpha_i[/tex3] se ele tivesse um fator [tex3]7[/tex3] então [tex3]1+4\alpha_j \equiv 0 \mod 7 \rightarrow 4\alpha_j \equiv -1 \mod 7 \rightarrow \alpha_j = 5 + 7k[/tex3]

será que existe algum [tex3]\alpha_m[/tex3] tal que [tex3]7\cdot 2^{\alpha_m} = 1 + 4(5+7k)[/tex3]
[tex3]2^{\alpha_m} = 3 + 4k[/tex3]

ta, com 2 não tem, com [tex3]3[/tex3]
[tex3]3^{\alpha_m} = 3 + 4k[/tex3]
[tex3]3^{\alpha_m}-3 = 4k[/tex3]
[tex3]3(3^{\alpha_m-1}-1)=4k[/tex3]
basta [tex3]3^{\alpha_m-1}-1 \equiv 0 \mod (4)[/tex3]
[tex3]3^{\alpha_m-1} \equiv 1 \mod (4)[/tex3]
fácil ver que [tex3]\alpha_m -1 = 2m_1[/tex3]
pegando o caso mais pequeno
[tex3]3^3 = 3 + 4\cdot 6[/tex3]
[tex3]5 + 42 = 47[/tex3]
[tex3]47\cdot4 +1 = 189[/tex3]
repara então que [tex3]3^3 \cdot 7^1 \cdot x^{47} = 189(1+4\alpha_x)[/tex3]

ah eu montei mal esse contra-exemplo... mas ainda não sei se pode ter algum número com 7 no meio

[Ittalo25MOD]

2 não pode ser fator porque [tex3](1+4\alpha_1)(1+4\alpha_2)...(1+4\alpha_n)[/tex3] é necessariamente ímpar.

Como:
[tex3]p_1^{\alpha_1}> 1+4\alpha_1[/tex3] para [tex3]p_1\geq 7[/tex3] e [tex3]\alpha_1\geq 1[/tex3]

Então pra igualdade ser verdadeira com algum fator maior ou igual a 7, os outros fatores devem ser menores que [tex3](1+4\alpha_1)[/tex3] , mas:

[tex3]3^{\alpha_1}\geq 1+4\alpha_1[/tex3] para [tex3]\alpha_1\geq 2[/tex3] - Caso I

[tex3]5^{\alpha_1}\geq 1+4\alpha_1[/tex3] para [tex3]\alpha_1\geq 1[/tex3] - Caso II

Ter o 5 e outro primo maior que 5 é impossível.

Sobrou o caso I, onde se teria o 3 multiplicado por um primo maior que 5....

[Auto Excluído (ID:12031)]

interessante então supondo que ele tem um fator 7

[tex3]7^{\alpha_3} > (1 + 4\alpha_3)[/tex3]
[tex3]3^{\alpha_1}5^{\alpha_2}7^{\alpha_3} = (1+4\alpha_1)(1+4\alpha_2)(1+4\alpha_3)[/tex3]

não podemos ter então [tex3](\alpha_1,\alpha_2) > (2,1)[/tex3]
logo [tex3](\alpha_1,\alpha_2) \in \{(0,1)(1,0)(1,1)(2,1) (2,0)\}[/tex3]
porém [tex3](0,1)[/tex3] e [tex3](2,0)[/tex3] temos igualdades [tex3]p^{\alpha}=1+4\alpha[/tex3] quando multiplicamos com a desigualdade do sete temos outra desigualdade. Logo:

[tex3](\alpha_1,\alpha_2) \in \{(1,0)(1,1)(2,1)\}[/tex3]
[tex3](1,0)[/tex3] também não pode ser porque [tex3]1+4 =5[/tex3]
[tex3](\alpha_1,\alpha_2) \in \{(1,1)(2,1)\}[/tex3]

[tex3]3\cdot5\cdot 7^{\alpha} = (1+4)(1+4)(1+4\alpha)[/tex3]
temos [tex3]5^2[/tex3] do lado direito.

[tex3]3^2 \cdot 5 \cdot 7^{\alpha} = (1+8)(1+4)(1+4\alpha)[/tex3]
absurdo.
Então [tex3]n[/tex3] só pode ter fatores [tex3]3[/tex3] ou [tex3]5[/tex3] porque qualquer outro iria acentuar ainda mais a desigualdade do [tex3]7[/tex3]

vamos lá

[tex3]3^{\alpha} 5^{\beta} = (1+4\alpha)(1+4\beta)[/tex3]
de novo os expoentes não podem superar ao mesmo tempo [tex3]2[/tex3] e [tex3]1[/tex3]
então realmente só sobra [tex3]5^1[/tex3] e [tex3]3^2[/tex3]

logo as únicas soluções são [tex3]m=1[/tex3] ,[tex3]m = 3^8[/tex3], [tex3]m=5^4[/tex3] e [tex3]m = 5^4 \cdot 3^8[/tex3]

[Vinisth]

Olá a todos !

O número pedido é da forma
[tex3]m =2^{4\alpha_2}3^{4\alpha_3}5^{4\alpha_5}...p_n^{4\alpha_n}[/tex3]
Logo o número de seus divisores positivos [tex3](1+4\alpha_2)(1+4\alpha_3)(1+4\alpha_5)\cdots (1+4\alpha_n)[/tex3] é um número ímpar e portanto [tex3]\alpha_2=0[/tex3], por conseguinte m é impar, pois a quarta potência do número de seus divisores positivos é igual a m.

De acordo com o enunciado temos a relação que deve ser satisfeita,
[tex3]\frac{{4\alpha_3}+1}{3^{\alpha_3}}\cdot \frac{{4\alpha_5}+1}{5^{\alpha_5}}\cdots = x_3\cdot x_5 \cdots x_n= 1[/tex3], onde [tex3]x_n = \frac{4\alpha_{n} +1}{n^{\alpha_{n}}}[/tex3]

Temos alguns casos, caso n = 3, n=5 e n>5...
Se [tex3]\alpha_3 = 0, \ ou\ \alpha_3=2 \implies x_3 = 1[/tex3] e se [tex3]\alpha_3=1 \implies x_3=\frac{5}{3}[/tex3] e [tex3]se \ \alpha_3 > 2[/tex3], pela Inequção de Bernoulli vem,
[tex3]3^{\alpha_3}=(8+1)^{\frac{\alpha_3}{2}}>4\alpha_3+1 \implies x_3<1[/tex3]
Aqui a gente sabe que [tex3]3^0=1 \ ou \ (3^2)^4=3^8[/tex3] faz parte da fatoração prima de m.

Analogamente,
Se [tex3]\alpha_5=0 \ ou \ \alpha_5=1 \implies x_5=1[/tex3] e se [tex3]\alpha_5 \geq 2[/tex3] temos,
[tex3]5^{\alpha_5}=(24+1)^{\frac{\alpha_5}{2}}>12\alpha_5+1 \implies x_5 \leq \frac{4\alpha_5+1}{12\alpha_5+1} \leq \frac{9}{25}[/tex3]
Daqui vem que 5 só pode ser [tex3]5^0=1 \ ou \ (5^1)^4=5^4[/tex3]

Último caso com [tex3]n>5[/tex3]
Se [tex3]\alpha_n = 0 \implies x_n=1 \ se \ \alpha_n =1 \implies n^{\alpha_n}=n>5=4\alpha_n+1 \implies x_n<1[/tex3], também [tex3]\alpha_n>1[/tex3], por Bernoulli novamente vem,
[tex3]n^{\alpha_n}>5^{\alpha_n}>12\alpha_n+1 \implies x_n <\frac{9}{25}[/tex3]
Da para ver aqui que a gente para no 5 (Não precisa analisar o 7, 11, 13 etc...), logo

Os inteiros são [tex3]1,3^8, 5^4 \ e\ 3^8\cdot 5^4[/tex3]

Abraço !