IME / ITA ⇒ (IME - 1966) Geometria Plana: Triângulos Tópico resolvido

[ggarcia]

Determinar a bissetriz do ângulo maior de um triângulo cujo perímetro é 38 m e cujos lados são proporcionais a 4,6 e 9.

Resposta

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[tex3]\Large\frac{2\sqrt{114}}{5}[/tex3]

[Auto Excluído (ID:276)]

[tex3]19x = 38 \rightarrow x = 2[/tex3]

então, os lados são [tex3]8 , 12 , 18[/tex3] . e lembrando que o maior lado é oposto ao maior ângulo etc...


sendo ''x'' e ''y'' os segmentos que a bissetriz [tex3](BD)[/tex3] determina no lado oposto...

a relação de stewart fornece o valor da bissetriz, que é dado por :

[tex3]8^2 y + 12^2 x = 18(BD)^2 + 18xy[/tex3]

pelo teorema das bissetrizes : [tex3]3x = 2y[/tex3] , como é dado o valor de x+y , é só resolver o sistema e achar os valores dos mesmos, que são [tex3]x = 7,2 ,\, y = 10,8[/tex3] então :


[tex3]96. 7,2 + 144 7,2 = 18\(\overline{BD}\)^2 + 1399,68 \rightarrow 18,24 = \(\overline{BD}\)^2 \rightarrow \overline{BD} = \frac{2 \sqrt{114}}{5}[/tex3]

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Relação de Stewart :

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usando a lei dos cossenos

[tex3]\triangle ABD \Rightarrow \(\overline{BD}\)^2 + x^2 - 2 . \overline{BD} . x . \cos \beta = b^2[/tex3]

[tex3]\triangle BCD \Rightarrow \(\overline{BD}\)^2 + y^2 - 2 . \overline{BD} . y . \cos 180 - \beta = c^2 \Rightarrow \(\overline{BD}\)^2 + y^2 + 2 . \overline{BD} . y . \cos \beta = c^2[/tex3]

multiplicando a primeira equação por [tex3]y[/tex3] , a 2ª por [tex3]x[/tex3] e somando as duas :

[tex3]b^2y + c^2x = \(\overline{BD}\)^2 a + xya[/tex3]