IME / ITA ⇒ (IME - 1989) Geometria Plana: Área de um Triângulo Tópico resolvido

[ggarcia]

Numa circunferência de centro [tex3]O[/tex3] e diâmetro [tex3]AB = 2R,[/tex3] prolonga-se o diâmetro [tex3]AB[/tex3] até um ponto [tex3]M,[/tex3] tal que [tex3]BM = R[/tex3] . Traça-se uma secante [tex3]MNS[/tex3] tal que [tex3]MN = NS ,[/tex3] onde [tex3]N[/tex3] e [tex3]S[/tex3] são os pontos de interseção da secante com a circunferência. Determine a área do triângulo [tex3]MOS[/tex3].

Resposta:

---

[tex3]\Large\frac{R^2\sqrt{15}}{4}\large[/tex3]

[tex3]\,[/tex3]

[triplebig]

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Na figura acima, temos que:

[tex3]a\,.\,2a\,=\,R\,.\,3R[/tex3]

[tex3]a\,=\,R\,\,\frac{\sqrt{6}}{2}\,\,\Longleftrightarrow\,\,2a\,=\,R\sqrt6[/tex3]

O semi-perímetro da figura é:

[tex3]R(1\,+\,2\,+\,\sqrt6).\frac{1}{2}[/tex3]

[tex3]\,=\,R\,\left(\frac{3\,+\,\sqrt6}{2}\right)\,=\,Rk[/tex3]

Usando hierão:

[tex3]\sqrt{kR\,(kR\,-\,R)\,(kR\,-\,2R)\,(kR\,-\,R\sqrt{6})}[/tex3]


Desenvolvendo, acha-se que a área desejada é [tex3]\boxed{R^2\,\,\Large\frac{\sqrt{15}}{4}}\large[/tex3]

[marco_sx]

Fala ggarcia e triplebig!

Então, triplebig você cometeu dois pequenos erros: um de digitação e e outro por distração.

[tex3]a=R.\frac{\sqrt{6}}{2}[/tex3]

E o lado do triângulo é [tex3]R.\sqrt{6}[/tex3] e não [tex3]a=R.\frac{\sqrt{6}}{2}[/tex3].

Com isso chegamos no resultado esperado: [tex3]R^2.\frac{\sqrt{15}}{4}[/tex3]

Falow!

[triplebig]

Duh, concertei, obrigado marco_sx!