Pré-Vestibular ⇒ (IIT - JEE) Geometria analítica e números complexos

[Ittalo25MOD]

Se [tex3]A(Z_1), B(Z_2)[/tex3] e [tex3]C(Z_3)[/tex3] são vértices do triângulo ABC inscrito no círculo [tex3]|z| = 1[/tex3] e a bissetriz do ângulo interno do vértice A encontra a circunferência em [tex3]D(Z_4)[/tex3], então:

a) [tex3](Z_4)^2 = Z_2 \cdot Z_3[/tex3]

b) [tex3]Z_4 = \frac{Z_2\cdot Z_3}{Z_1}[/tex3]

c) [tex3]Z_4 = \frac{Z_1\cdot Z_2}{Z_3}[/tex3]

d) [tex3]Z_4 = \frac{Z_1\cdot Z_3}{Z_2}[/tex3]

Resposta

---

a)

[Auto Excluído (ID:12031)]

[tex3]Z_4[/tex3] tem módulo 1 porque está na circunferência, então ele é da forma [tex3]\cis\(\theta\)[/tex3] o argumento de [tex3]Z_4[/tex3] é a metade do argumento de [tex3]\frac{Z_2 - Z_1}{Z_3-Z_1}[/tex3] em outras palavras

[tex3]\(\frac{Z_4-Z_1}{Z_3-Z_1}\)^2\Bigg|\frac{Z_3-Z_1}{Z_4-Z_1}\Bigg|^2 = \frac{\(Z_2-Z_1\)}{\(Z_3-Z_1\)}\cdot\Bigg|\frac{Z_3-Z_1}{Z_2-Z_1}\Bigg|[/tex3]

ai é só manipular essa expressão usando que:

[tex3]Z_i \bar{Z_i} = 1[/tex3]
[tex3]Z\bar Z = |Z|^2[/tex3]

é que dá trabalho digitar, mas abre os módulos em [tex3]z\bar z[/tex3] e quando aparecer [tex3]\bar z_i[/tex3] troque por [tex3]\frac 1 {z_i}[/tex3]

[Auto Excluído (ID:12031)]

[tex3]\(Z_4-Z_1\)^2|Z_2-Z_1||Z_3-Z_1| = \(Z_3-Z_1\)\(Z_2-Z_1\)|Z_4-Z_1|^2[/tex3]

[tex3]\(Z_4-Z_1\)|Z_2-Z_1||Z_3-Z_1| = \(Z_3-Z_1\)\(Z_2-Z_1\)\(\bar Z_4-\bar Z_1\)[/tex3]

[tex3]\(Z_4-Z_1\)|Z_2-Z_1||Z_3-Z_1| = \(Z_3-Z_1\)\(Z_2-Z_1\)\(\frac1{Z_4}-\frac 1 { Z_1}\)[/tex3]

[tex3]-Z_1Z_4|Z_2-Z_1||Z_3-Z_1| = \(Z_3-Z_1\)\(Z_2-Z_1\)[/tex3]

eleva tudo ao quadrado

[tex3]Z_1^2Z_4^2 \(Z_2-Z_1\)\(Z_3-Z_1\)\(\frac{1}{Z_2} - \frac{1}{Z_1}\)\(\frac{1}{Z_3} - \frac{1}{Z_1}\) = \(Z_3-Z_1\)^2\(Z_2-Z_1\)^2[/tex3]

[tex3]Z_1^2 Z_4^2 \frac{1}{Z_2Z_1} \frac{1}{Z_3Z_1} = 1[/tex3]

[tex3]Z_4^2 = Z_2 Z_3[/tex3]

[Ittalo25MOD]

Valeu, mas não entendi a representação do argumento de [tex3]z_4[/tex3] por [tex3]\frac{2Z_2 - 2Z_1}{Z_3-Z_1}[/tex3], tem como me explicar? Agradeço

Vi outra resolução assim:

O argumento de [tex3]z_4[/tex3] é a média entre o argumento de [tex3]z_1[/tex3] e [tex3]z_3[/tex3]

[tex3]\arg(z_4) = \frac{\arg(z_1)+\arg(z_3)}{2}[/tex3]

[tex3]\arg(z_4)^2 = \arg(z_1)+\arg(z_3)[/tex3]

[tex3]\arg(z_4)^2 = \arg(z_1)\cdot \arg(z_3)[/tex3]

Letra A)

[Auto Excluído (ID:12031)]

pra mim não foi óbvio que o argumento de [tex3]z_4[/tex3]é a média aritmética do argumento de [tex3]z_2[/tex3] e de [tex3]z_3[/tex3] o que eu escrevi foi que a reta [tex3]z_1z_4[/tex3] forma com a reta [tex3]z_1z_3[/tex3] metade do ângulo que a reta [tex3]z_1z_2[/tex3] faz com [tex3]z_3z_1[/tex3]

A divisão nos números complexos é uma rotação no sentido horário. Porém ela varia o módulo então multipliquei por aqueles módulos dos dois lados pra que a igualdade seja verdadeira.