Ensino Superior ⇒ Cálculo de área utilizando integral

[ramiro99]

Encontrar a área limitada pelas curvas y=3/x, y=3x³, as retas y=+/-3 e o eixo x

OBS: já desenhei o gráfico e encontrei os pontos de intersecção, que são de -3 a 3. Porém não consigo montar a integral visto que não sei qual é a função que limita inferiormente.

Grato.

[Rafa2604]

Encontrar a área limitada pelas curvas y=3/x, y=3x³, as retas y=+/-3 e o eixo x.

As retas [tex3]y=-3 \;\text{e} \; y=3[/tex3] já nos dão a variação de y para montar o gráfico.
Portanto, temos da primeira curva que:
[tex3]y = \frac{3}{x} \; \rightarrow \; x = \frac{3}{y} \; \rightarrow \; x = \frac{3}{-3} = -1 \;\text{e}\; x = \frac{3}{3} = 1[/tex3]. Então temos que [tex3]-1 \leq x \leq 1[/tex3].
Da segunda curva temos que:
[tex3]y = 3x^{3} \;\rightarrow\; x = \left(\frac{y}{3}\right)^{1/3} \;\rightarrow \; x =\left(\frac{-3}{3}\right)^{1/3} = (-1)^{1/3} = -1 \; \text{e}\; x = \left(\frac{3}{3}\right)^{1/3} = (1)^{1/3} = 1[/tex3]. Então temos que: [tex3]-1 \leq x \leq 1[/tex3].

Observando o gráfico vemos que: [tex3]3x^{3} \leq y \leq \frac{3}{x}[/tex3] quando [tex3]-1 \leq x \leq 1[/tex3].
Portanto, temos a seguinte integral para o cálculo da área:
[tex3]\text{A} = \int\limits_{-1\;}^{1}\int\limits_{3x^{3}}^{3/x}dydx[/tex3].
Como a região é simétrica, temos que:
[tex3]\text{A} = 2\int\limits_{0\;}^{1}\int\limits_{3x^{3}}^{3/x}dydx = 2\int\limits_{0\;}^{1} \left (\frac{3}{x}-3x^{3} \right) dx = 2\left[ 3lnx-\frac{3}{4}x^{4} \right]_{0}^{1} = 2\left[3.ln(1)-\frac{3}{4} .1^{4} - 3.ln(0) - \frac{3}{4}.0^{4} \right] = 2 \left[ -\frac{3}{4}\right] = -\frac{3}{2}[/tex3]