Ensino Médio ⇒ Fatoração Tópico resolvido

[giovane]

Sejam x e y números reais tais que [tex3]{x^2+y^2=1}[/tex3] e [tex3]\frac{x^4}{a} + \frac{y^4}{b} = \frac{1}{a+b}[/tex3]. O valor de [tex3]\frac{x^8}{a^3} + \frac{y^8}{b^3}[/tex3] é igual a:

Resposta

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Gabarito: [tex3]\frac{1}{(a+b)^3}[/tex3]

[petrasMOD]

@giovane,
Podemos substituir o 1 do lado direito por [tex3](x^2 + y^2)^2:\frac{x^4}{a} + \frac{y^4}{b} = \frac{(x^2 + y^2)^2}{a+b}[/tex3]
Multiplicando ambos os lados por [tex3]a \cdot b \cdot (a+b) [/tex3]:[tex3](a+b)b \cdot x^4 + (a+b)a \cdot y^4 = ab(x^2 + y^2)^2\\(ab + b^2)x^4 + (a^2 + ab)y^4 = ab(x^4 + 2x^2y^2 + y^4)\\\cancel{abx^4} + b^2x^4 + a^2y^4 + \cancel{aby^4} = \cancel{abx^4} + 2abx^2y^2 + \cancel{aby^4}\\b^2x^4 - 2abx^2y^2 + a^2y^4 = 0[/tex3]

O lado esquerdo é um trinômio quadrado perfeito:[tex3](bx^2 - ay^2)^2 = 0[/tex3]
Portanto:[tex3]bx^2 = ay^2 \implies \frac{x^2}{a} = \frac{y^2}{b}[/tex3]
Se[tex3] \frac{x^2}{a} = \frac{y^2}{b} = k \implies x^2 = ak; y^2 = bk[/tex3].
[tex3]x^2 + y^2 = 1:ak + bk = 1 \implies k(a+b) = 1 \implies k = \frac{1}{a+b}[/tex3]
Dessa forma, temos as relações:[tex3]\frac{x^2}{a} = \frac{1}{a+b} \quad \text{e} \quad \frac{y^2}{b} = \frac{1}{a+b}[/tex3]
[tex3]S = \frac{x^8}{a^3} + \frac{y^8}{b^3} = \frac{(x^2)^4}{a^3} + \frac{(y^2)^4}{b^3}\\
x^2 = \frac{a}{a+b}; y^2 = \frac{b}{a+b}:\\
S = \frac{\left(\frac{a}{a+b}\right)^4}{a^3} + \frac{\left(\frac{b}{a+b}\right)^4}{b^3} = \frac{a^4}{a^3(a+b)^4} + \frac{b^4}{b^3(a+b)^4}\\ S= \frac{a}{(a+b)^4} + \frac{b}{(a+b)^4} = \frac{a+b}{(a+b)^4}\\\therefore \boxed{S = \frac{1}{(a+b)^3}_{//}}[/tex3]