Olimpíadas ⇒ (IBEROAMERICANA)Funções Tópico resolvido

[rogerjordan]

Se D = R − {−1, 0, 1}, encontre todas as funções
f : D → R tais que, para todo x ∈ D, tenhamos
[tex3]f(x)^2f(\frac{1-x}{1+x})=64x[/tex3]

[Auto Excluído (ID:12031)]

[tex3]\frac{1-x}{1+x} = u[/tex3]
[tex3]1-x = u + ux[/tex3]
[tex3]1-u = (u+1)x[/tex3]
[tex3]x = \frac{1-u}{1+u}[/tex3]

teremos

[tex3]f^2(\frac{1-u}{1+u})f(u) = 64\frac{1-u}{1+u}[/tex3]
como
[tex3]f^4(u)f^2(\frac{1-u}{1+u}) = 64^2u^2[/tex3]

divide as duas

[tex3]f^3(u) = \frac{64^2u^2}{ 64\frac{1-u}{1+u}}[/tex3]
[tex3]f^3(u) = \frac{64u^2(1+u)}{ 1-u}[/tex3]

[tex3]f(x) = \sqrt[3]{\frac{64x^2(1+x)}{ 1-x}}[/tex3]