Ensino Superior ⇒ Geometria Analítica no Espaço: Retas e Planos Tópico resolvido

[jrbueno]

Olá, preciso resolver esse exercício da facu e não estou conseguindo fazer meu resultado bater com a resposta dada.
Preciso de ajuda, desde já obrigado:


Determinar a equação geral do plano que contém o ponto e a reta:

Ponto A(1,2,1) e a reta intersecção dos planos:

1) x - 2y + z - 3 = 0
2) yOz


resposta dada: 6x - 2y + z - 3 = 0

Muito obrigado.

[Karl Weierstrass]

Determinar a equação geral do plano que contém o ponto [tex3]A(1,\,2,\,1)[/tex3] e a reta intersecção dos planos [tex3]x \,-\, 2y \,+ \,z \,-\, 3\, =\, 0[/tex3] e [tex3]yOz.[/tex3]

A interseção dos planos [tex3]x \,-\, 2y \,+ \,z \,-\, 3\, =\, 0[/tex3] e [tex3]x\,=\,0[/tex3] é a reta [tex3]r:\,\text{-}2y \,+ \,z \,-\, 3\, =\, 0\,\Longrightarrow \,r:\,z\,=\,2y\,+\,3.[/tex3]

As equações simétricas de [tex3]r[/tex3] são

[tex3]\hspace{70pt}\frac{y-\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}}\,=\,\frac{z}{1}[/tex3]

Donde concluímos que o vetor diretor de [tex3]r[/tex3] é [tex3]\vec{d}\,=\,\left(0,\,1/2,\,1\right).[/tex3]

Note que a equação do plano será obtida através da equação vetorial

[tex3]\hspace{70pt}\vec{n}\,\cdot\,\vec{AP} \,=\,0,[/tex3]

onde [tex3]\vec{n}[/tex3] é um vetor normal ao plano e [tex3]\vec{AP}\,=\,(x\,-\,1,\,y\,-\,2,\,z\,-\,1).[/tex3]

Tomando arbitrariamente [tex3]y\,=\,-1,[/tex3] obtemos [tex3]z\,=\,2\,\cdot\,(-1)\,+\,3\,=\,1.[/tex3] Assim, calculamos o ponto [tex3]B(0,\,-1,\,1)[/tex3] pertencente à reta [tex3]r.[/tex3]

Como [tex3]\vec{n}\,=\,\vec{AB}\,\times\,\vec{d},[/tex3] segue que [tex3]\vec{AB}\,=\,(-1,\,-3,\,0)[/tex3] e

[tex3]\hspace{70pt}\vec{n}\,=\,\vec{AB}\,\times\,\vec{d}\,=\,\left|\begin{array}{rrrrrr}

\vec{i}&&\vec{j}\,\,&& \vec{k}\\

\,&&\,&&\, \\

-1 &&-3\,\, && 0\\

\,&&\,&&\, \\

0 && 1/2 && 1
\end{array}\right|\,=\,-3\vec{i}\,+\,\vec{j}\,-\,\frac{1}{2}\vec{k}.[/tex3]

Portanto,

[tex3]\hspace{70pt}\left(-3,\,1,\,-\,\frac{1}{2}\right)\,\cdot\,(x\,-\,1,\,y\,-\,2,\,z\,-\,1)\,=\,0\Longrightarrow\, 6x\,-\,2y\,+\,z\,-\,3\,=\,0.[/tex3]








[tex3]\,[/tex3]