IME / ITA ⇒ (EN - 1985) Geometria Analítica no Espaço: Retas e Planos Tópico resolvido

[mvgcsdf]

A reta [tex3]r[/tex3] é paralela aos planos [tex3]\alpha ,[/tex3] de equação [tex3]3x\, - \,4y\, +\, 9z \,=\, 0,[/tex3] e [tex3]\beta,[/tex3] de equação [tex3]3x\, +\, 12y \,- \,3z\, = \,17,[/tex3] corta as retas [tex3]s[/tex3] e [tex3]t[/tex3] de equações:

• [tex3]s: \frac{x}{2} = \frac{4- y}{3} = \frac{z+5}{4}[/tex3] e [tex3]t: x - 8= \frac{2-y}{2} = -z -3.[/tex3]

A soma das coordenadas do ponto de intersecção de [tex3]r[/tex3] e [tex3]s[/tex3] é

a) [tex3]4[/tex3]
b) [tex3]0[/tex3]
c) [tex3]1[/tex3]
d) [tex3]2[/tex3]
e) [tex3]\text{-}1[/tex3]

[Karl Weierstrass]

Sejam [tex3]\vec{n}_\alpha[/tex3] e [tex3]\vec{n}_\beta,[/tex3] respectivamente, os vetores normais aos planos [tex3]\alpha[/tex3] e [tex3]\beta.[/tex3]

Como [tex3]r[/tex3] é paralela aos planos [tex3]\alpha[/tex3] e [tex3]\beta,[/tex3] o vetor diretor de [tex3]r[/tex3] é simultaneamente perpendicular a [tex3]\vec{n}_\alpha[/tex3] e [tex3]\vec{n}_\beta.[/tex3]

Segue que [tex3]\vec{n}_\alpha\,=\,(3,\,-4,\,9)[/tex3] e [tex3]\vec{n}_\beta\,=\,(1,\,4,\,-1).[/tex3] Logo, se [tex3]\vec{d}_r[/tex3] é o vetor diretor de [tex3]r,[/tex3] vem

• [tex3]\vec{d}_r\,=\,\vec{n}_\alpha\,\times\,\vec{n}_\beta\,=\,\left|\begin{array}{rrr}
  \vec{i}&\vec{j}& \vec{k}\\
  3 &-4 & 9\\
  1 & 4 & -1
  \end{array}\right|\,=\,-32\vec{i}\,+\,12\vec{j}\,+\,16\vec{k}\,=\,4\,\cdot\,(-8\vec{i}\,+\,3\vec{j}\,+\,4\vec{k}).[/tex3]

Desse modo, as equações paramétricas de [tex3]r[/tex3] são

• [tex3]x\,=\,x_1\,-\,8t\\
  y\,=\,y_1\,+\,3t\\
  z\,=\,z_1\,+\,4t[/tex3]

Sejam [tex3]P(x_1,\,y_1,\,z_1)[/tex3] e [tex3]Q(x_2,\,y_2,\,z_2),[/tex3] respectivamente, os pontos de intersecção de [tex3]r[/tex3] com [tex3]s[/tex3] e [tex3]r[/tex3] com [tex3]t[/tex3].

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Logo,

• [tex3](*)\ \begin{cases} x_2\,=\,x_1\,-\,8t\\
  y_2\,=\,y_1\,+\,3t\\
  z_2\,=\,z_1\,+\,4t\end{cases}[/tex3]

As equações reduzidas das retas [tex3]s[/tex3] e [tex3]t[/tex3] são:

• [tex3]s:\,\begin{cases} y\,=\,-\frac{3x}{2}\,+\,4\\ z\,=\,2x\,-\,5\end{cases}[/tex3]

e

• [tex3]t:\,\begin{cases}{ll}y\,=\,-2x\,+\,18 \\z\,=\,-x\,+\,5 \end{cases}[/tex3]

Mas

• [tex3]P\in s\,\Longrightarrow\begin{cases}{ll} y_1\,=\,-\frac{3x_1}{2}\,+\,4\\ z_1\,=\,2x_1\,-\,5\end{cases}[/tex3]

e

• [tex3]Q\in t\,\Longrightarrow \begin{cases}y_2\,=\,-2x_2\,+\,18 \\z_2\,=\,-x_2\,+\,5 \end{cases}[/tex3]

Substituindo em [tex3](*),[/tex3] obtemos

• [tex3]\begin{cases} x_2\,=\,x_1\,-\,8t\\
  -2x_2\,+\,18\,=\,-\frac{3x_1}{2}\,+\,4\,+\,3t\\
  -x_2\,+\,5 \,=\,2x_1\,-\,5\,+\,4t\end{cases}[/tex3]

Resolvendo esse sistema, encontramos [tex3]x_1\,=\,2,\,y_1\,=\,1[/tex3] e [tex3]z_1\,=\,-1.[/tex3]

Portanto, o resultado pedido é [tex3]x_1\,+\,y_1\,+\,z_1\,=\,2[/tex3].

[tex3]\boxed{\text{D}}[/tex3]

[mvgcsdf]

Grande Karl! Muito obrigado pela ajuda.
Sua solução está monumental!
Simplesmente brilhante, muito didática.
Valeu mesmo!
Abração!

[Karl Weierstrass]

Obrigado.

Esse deu trabalho.

A geometria analítica no espaço é gostosa de se estudar.

Abraço.